Question

................................................

Answer 1

Ответ:

28.

Объяснение:

                                   $P(x)=x^3+ax^2+bx+c.$

Пусть корни многочлена отрицательны,

             $x_1=-p;\ x_2=-q;\ x_3=-r;\ p > 0;\ q > 0;\ r > 0.$

Тогда     $P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x+p)(x+q)(x+r)=$

                     $=x^3+(p+q+r)x^2+(pq+qr+rp)x+pqr\Rightarrow$

                   $a=p+q+r > 0;\ b=pq+qr+rp > 0;\ c=pqr > 0.$

Поэтому $P(x) > x^3$ при $x > 0,$ следовательно $P(3) > 27.$ Докажем, что существует многочлен с $P(3)=28.$

Пусть  $p=0,01,\ q=0,01+t,\ r=0,01+2t,$ тогда

$P(3)=(3+0,01)(3+0,01+t)(3+0,01+2t)=3,01^3+3,01^2\cdot 3t+3,01\cdot 2t^2;$

поэтому уравнение P(3)=28 превращается в квадратное уравнение относительно t

                   $6,02t^2+3,01^2\cdot 3t-(28-27,270901)=0$

(неохота 3,01 возводить в квадрат). Старший коэффициент положителен, свободный член отрицателен, поэтому уравнение имеет один положительный корень и один отрицательный: нам нужен положительный корень s.

Многочлен       $P(x)=(x+0,01)(x+0,01+s)(x+0,01+2s)$ искомый: его корни $-0,01,\ -0,01-s,\ -0,01-2s$  отрицательны, причем P(3)=28.