Question

Якому виразу дорівнює сума чисел у n-му рядку числового «трикутника» вигляду

1

2+3

4+5+6

7 + 8 + 9 + 10

11 + 12 + 13 + 14 + 15

A)n(n^2+1)/2

б)n(n^2-1)/2

В)n(n^2+1)

Г)n(n^2-1)

Д)Інша відповідь

Answer 1

Ответ:

Сумма чисел в n-ой строке заданного числового треугольника равна $\dfrac{n(n^2+1)}{2}$

Решение:

Рассмотрим $n$-ую строку треугольника. По построению, в ней находится $n$ чисел, которые представляют собой арифметическую прогрессию с некоторым первым членом $X_n$ и разностью, равной 1.

Сумму этих членов легко посчитать, если будет известно значение $X_n$.

Поймем, как определить первое число $X_n$ в строке с номером $n$.

Заметим следующее:

$X_1=1$

$X_2=X_1+1$

$X_3=X_2+2$

$X_4=X_3+3$

$X_5=X_4+4$

...

$X_n=X_{n-1}+(n-1)$

Подставив по цепочке последующие выражения в предыдущие, получим:

$X_n=1+\Big(1+2+3+\ldots+(n-1)\Big)$

В скобках записаны первых (n-1) членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью, равными 1. Находим сумму этих членов:

$X_n=1+\dfrac{1+(n-1)}{2} \cdot(n-1)$

$X_n=1+\dfrac{n(n-1)}{2}$

$X_n=1+\dfrac{n^2-n}{2}$

$X_n=\dfrac{n^2-n+2}{2}$

Теперь мы знаем первое число в строке с номером $n$.

Найдем сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии с первым членом, равным $X_n$, и разностью, равной 1:

$S_n=\dfrac{2X_n+1\cdot(n-1)}{2}\cdot n =\dfrac{2\cdot \dfrac{n^2-n+2}{2}+n-1}{2}\cdot n =$

$=\dfrac{n^2-n+2+n-1}{2}\cdot n =\dfrac{n^2+1}{2}\cdot n=\boxed{ \dfrac{n(n^2+1)}{2}}$

Элементы теории:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n$