Question

Доказать с объяснением

Answer 1

По всей видимости $a\ll x,y$

Разложим дробь общего вида в ряд Тейлора$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(x-\delta_x)^2+(y-\delta_y)^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}+\\-\delta_x\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)-\delta_y\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\\\\=\frac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}+\frac{x\delta_x+y\delta_y}{(x^2+y^2)^{3/2}}$

У нас в исходном выражении записаны три таких дроби с плюсом и три - с минусом, поэтому слагаемые нулевого порядка малости в итоге сократятся и надо понять, какие слагаемые первого порядка малости останутся. Знаменатели у них будут одинаковые, а числители надо посчитать:

$\displaystyle \frac{ay+ax\sqrt{3}/2+ya/2+ax\sqrt{3}/2-ya/2+ay+ax\sqrt{3}/2+ay/2+ax\sqrt{3}/2-ay/2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\\\\=\frac{4ax\sqrt{3}/2+2ay}{(x^2+y^2)^{3/2}} = 2a\frac{x\sqrt{3}+y}{(x^2+y^2)^{3/2}}$