Question

При напряжении в сети U1 = 220 В вода в электрическом
чайнике закипает через время τ1 = 10 мин, а при напряжении U2 =
= 110 В – через время τ2 = 50 мин. Через какое время вода закипит
при напряжении в сети U3 = 100 В? Масса и начальная температура
воды во всех случаях одинаковы. Считать, что отдаваемое в окру-
жающее пространство количество теплоты пропорционально вре-
мени работы чайника.
ОБЯЗАТЕЛЬНО С ДАНО И НАЧАЛЬНЫМИ ФОРМУЛАМИ

Answer 1

Мощность выделяемая в цепи чайника равна $U^2/R$

Для закипания чайника (без теплопотерь) требуется фиксированное количество теплоты, обозначим его $Q$

Теплопотери пропорциональны времени процесса, пусть коэффициент этой пропорциональности равен $k$

Соответственно, в общем случае уравнение теплового баланса при закипании чайника имеет вид

$\displaystyle \frac{U^2}{R}\tau = Q + k\tau$ где нам будут известны только $U$ и $\tau$ а именно

$\displaystyle \frac{U_1^2}{R}\tau_1 = Q+k\tau_1\\\\\frac{U_2^2}{R}\tau_2 = Q+k\tau_2$

А найти нам надо $\tau_3$ из похожено уравнения

$\displaystyle \frac{U_3^2}{R}\tau_3 = Q+k\tau_3\\\\\frac{1}{\tau_3} = \frac{U_3^2/R-k}{Q}$

Это небольшой но крайне удобный алгебраический трюк - искать будем величину, обратную $\tau_3$, чтобы у дроби был простой знаменатель. Так же поступим и с исходными двумя строчками:
$\displaystyle\frac{1}{\tau_1} = \frac{U_1^2}{RQ}-\frac{k}{Q}\\\\\frac{1}{\tau_2} = \frac{U_2^2}{RQ}-\frac{k}{Q}$
Если мы вычтем эти строки, получим
$\displaystyle \frac{1}{\tau_1}-\frac{1}{\tau_2} = \frac{1}{RQ}(U_1^2-U_2^2)\\\\\frac{1}{RQ} = \left(\frac{1}{\tau_1}-\frac{1}{\tau_2}\right):(U_1^2-U_2^2)$

а если первую умножим на $U_2^2$, вторую на $U_1^2$ и тогда вычтем, получим

$\displaystyle\frac{U_2^2}{\tau_1}-\frac{U_1^2}{\tau_2} = \frac{k}{Q}(U_1^2-U_2^2)\\\\\frac{k}{Q} = \left(\frac{U_2^2}{\tau_1}-\frac{U_1^2}{\tau_2}\right):(U_1^2-U_2^2)$

Это нам пригодится в формуле для $1/\tau_3$

$\displaystyle \frac{1}{\tau_3} = \frac{U_3^2}{RQ}-\frac{k}{Q} =\\\\\frac{1}{U_1^2-U_2^2}\left(U_3^2\left(\frac{1}{\tau_1}-\frac{1}{\tau_2}\right)-\frac{U_2^2}{\tau_1}+\frac{U_1^2}{\tau_2}\right) = \frac{1}{U_1^2-U_2^2}\left(\frac{U_3^2-U_2^2}{\tau_1}+\frac{U_1^2-U_3^2}{\tau_2}\right)\\\\\tau_3 =( U_1^2-U_2^2):\left(\frac{U_3^2-U_2^2}{\tau_1}+\frac{U_1^2-U_3^2}{\tau_2}\right)$

Если подставить числа получится примерно 65 минут