Question

100 баллов! срочно! решить уравнение! с подробным пошаговым решением
${x}^{4} + 4 {x}^{ 3} + 6 {x}^{2} - 28x - 28 = 0$
​

Answer 1

$x^4+4x^3+6x^2-28x-28=0$

выполним замену $x=y-1$ (стандартная процедура "приведения" для убирания второго члена) и после приведения подобных слагаемых получим

$y^4-32y+3=0$

Данное уравнение 4-й степени решим методом Феррари

Резольвента выписанного выше уравнения

$z^3-12z-1024=0$

Это приведенное кубическое уравнение, считаем дискриминант

$\Delta = 1024^2/4-12^3/27 = 262080 = 24^2\cdot455$

Он больше нуля, значит у резольвенты есть единственный корень

$z_0 = \sqrt[3]{512-24\sqrt{455}}+\sqrt[3]{512+24\sqrt{455}}\approx10.476$

Корни исходного уравнения находятся при помощи найденного корня резольвенты следующим образом:

$\displaystyle y^2+\frac{z_0}{2} = \pm\sqrt{z_0y^2+32y+z_0^2/4-3}$

Обратим внимание, что подкоренное выражение является точным квадратом

$\displaystyle z_0y^2+32y+z_0^2/4-3 = \\\\(\sqrt{z_0}y)^2+2\cdot(\sqrt{z_0}y)\cdot(16/\sqrt{z_0})+256/z_0-256/z_0+z_0^2/4-3=\\\\(\sqrt{z_0}y+16\sqrt{z_0})^2+\frac{z_0^3-12z_0-1024}{4z_0}=(\sqrt{z_0}y+16/\sqrt{z_0})^2$

Поэтому мы в итоге решаем уравнения

$\displaystyle y^2+\frac{z_0}{2} = \pm(\sqrt{z_0}y+16/\sqrt{z_0})$

или

$y^2\pm y\sqrt{z_0}+0.5z_0\pm16/\sqrt{z_0}=0$

Прямой проверкой выясняется, что при выборе знака "+" у уравнения нет действительных корней, поэтому выбираем знак "-" и получаем окончательно

$\displaystyle x = -1+\frac{\sqrt{z_0}\pm\sqrt{64/\sqrt{z_0}-z_0}}{2}$
где $z_0 = \sqrt[3]{512-24\sqrt{455}}+\sqrt[3]{512+24\sqrt{455}}$