Пусть S(m) — сумма цифр натурального числа m. Если наибольший общий делитель чисел S(m) и S(m+1) является простым числом больше 2, найдите наименьшее значение m.
Ответы
Это "простое число большее 2" не может быть 3, потому что S(m) делится на три только когда m делится на 3, а m и m+1 оба на три делиться не могут.
Значит следующий кандидат простое число 5. Оба числа S(m) и S(m+1) должны делиться на 5. Очевидно, это невозможно если m и m+1 отличаются только последней цифрой. Поэтому m должно заканчиваться на 9, а стало быть m+1 заканчиваться на 0.
Если m заканчивается на только одну девятку, то в числе m+1 последняя цифра будет на 9 меньше, а предпоследняя на 1 больше, значит сумма цифр в числе m+1 будет меньше на (9-1) = 8, и если S(m+1) делится на 5, то S(m) - нет
Если m заканчивается на две девятки, то сумма цифр в числе m+1 будет меньше на (9+9-1) = 17, тоже не подходит
Три девятки тоже не подойдут, а вот четыре девятки да, потому что S(m+1) = S(m) -(9+9+9+9)+1 = S(m)-35
Осталось чтобы S(m) делилось на 5. Этому удовлетворяет число 49999. Оно и является наименьшим
S(49999) = 40, S(50000) = 5, НОД = 5