19.11. Пусть О точка пересечения биссектрис углов прямоугольного треугольника ABC, катеты BC = 5, AC = 12. Найдите площадь треугольника АВО. 19.12. В прямоугольном треугольнике длина катета а=2tg a, где а - противолежащий этому катету угол.Найдите длину его гипотенузы, если площадь треугольника S = 4.
Ответы
1. По условию, точка О - точка пересечения биссектрис углов треугольника ABC. Так как ABC - прямоугольный треугольник, то биссектрисы углов являются медианами (половинами гипотенузы). Поэтому точка О будет являться серединой гипотенузы треугольника ABC.
Так как BC = 5 и AC = 12, то длина гипотенузы равна AB = √(BC^2 + AC^2) = √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13.
Таким образом, длина гипотенузы AB равна 13.
2. По условию, длина катета а = 2tg a. Так как треугольник прямоугольный, то tg a = a/гипотенуза.
Подставляя данное выражение для tg a, получаем, что a = 2(a/гипотенуза), откуда гипотенуза = а/2.
Так как площадь треугольника S = (а*гипотенуза)/2 = 4, то (а*гипотенуза)/2 = 4. Подставляя выражение для гипотенузы, получаем, что (а*(а/2))/2 = 4. Упрощая, получаем, что (а^2)/4 = 4. Умножая обе части уравнения на 4, получаем, что а^2 = 16. Из этого следует, что а = 4.
Таким образом, длина гипотенузы треугольника равна а/2 = 4/2 = 2.