Question

доказать тождество
$\frac{2 \cos( \alpha ) + \cos(3 \alpha ) + \cos(5 \alpha ) }{ \cos(3 \alpha ) + \sin( \alpha ) \sin(2 \alpha ) } = 4 \cos(2 \alpha )$
желательно с объяснением.​

Answer 1

$\frac{2 \cos( \alpha ) + \cos(3 \alpha ) + \cos(5 \alpha ) }{ \cos(3 \alpha ) + \sin( \alpha ) \sin(2 \alpha ) } = 4 \cos(2 \alpha )$

$\frac{2 \cos( \alpha ) + \cos(3 \alpha ) + \cos(5 \alpha ) }{ \cos(3 \alpha ) + \sin( \alpha ) \sin(2 \alpha ) } =$

$=\frac{2 \cos( \alpha ) + \cos(3 \alpha ) + \cos(5 \alpha ) }{ \cos(2 \alpha +\alpha) + \sin( \alpha ) \sin(2 \alpha ) } =$

-----------------------------

$cos(x)+cos(y)=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$

$cos(x+y)=cox(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$

-----------------------------

$=\frac{2 \cos( \alpha ) +2\cos\frac{3 \alpha+5 \alpha}{2}\cos\frac{3 \alpha-5\alpha}{2} }{ \cos(2 \alpha )cos(\alpha)-sin(2\alpha) sin(\alpha) + \sin( \alpha ) \sin(2 \alpha ) } =$

$=\frac{2 \cos( \alpha ) +2\cos(4 \alpha)cos(-\alpha)}{ \cos(2 \alpha )\cos(\alpha)} =$

$=\frac{2 \cos( \alpha ) +2\cos(4 \alpha)\cos(\alpha)}{ \cos(2 \alpha )cos(\alpha)} =$

$=\frac{2 \cos( \alpha ) (1+\cos(4 \alpha))}{ \cos(2 \alpha )\cos(\alpha)} =$

$=\frac{2+2\cos(4 \alpha)}{ \cos(2 \alpha )} =$

$=\frac{2+2\cos(2\cdot 2 \alpha)}{ \cos(2 \alpha )} =$

-----------------------------

$cos(2x)=2cos^2(x)-1$

-----------------------------

$=\frac{2+2(2\cos^2(2 \alpha)-1)}{ \cos(2 \alpha )} =$

$=\frac{2+4\cos^2(2 \alpha)-2}{ \cos(2 \alpha )} =$

$=\frac{4\cos^2(2 \alpha)}{ \cos(2 \alpha )} =$

$=4 \cos(2 \alpha )$