Question

100 баллов! срочно! с подробным пошаговым решением
$\frac{n}{3} + \frac{ {n}^{2} }{2} + \frac{n {}^{3} }{6}$
натуральное число.
решить за схемой

Сделать за схемой
Опорна схема
1) Перевіряємо істинність твердження при n=1
2) Припускаємо істинність твердження при n=k та доводимо істинність твердження при n=k+1 .
Робимо висновок про істинність твердження для будь- якогo натурального n.​​

Answer 1

$\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}$

1)

$n=1$

$\frac{1}{3}+\frac{1^2}{2}+\frac{1^3}{6}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1\in N$

2)

$n=k$

$\frac{k}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{6}=m \in N$

$n=k+1$

$\frac{k+1}{3}+\frac{(k+1)^2}{2}+\frac{(k+1)^3}{6}=$

$=\frac{k}{3}+\frac{1}{3}+\frac{k^2+2k+1}{2}+\frac{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}{6}=$

$=\frac{k}{3}+\frac{1}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{2k+1}{2}+\frac{k^3}{6}+\frac{3k^2 + 3k + 1}{6}=$

$=\frac{k}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3(2k+1)}{6}+\frac{3k^2 + 3k + 1}{6}=$

$=m+\frac{2+3(2k+1)+3k^2 + 3k + 1}{6}=$

$=m+\frac{2+6k+3+3k^2 + 3k + 1}{6}=$

$=m+\frac{3k^2 + 9k + 6}{6}=$

$=m+\frac{3(k^2 + 3k + 2)}{6}=$

$=m+\frac{k^2 + k+2k + 2}{2}=$

$=m+\frac{k(k+1)+ 2(k+1)}{2}=$

$=m+\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$k+1,k+2$ - последовательные натуральные числа, одно из них делится на 2.

Сумма натуральных чисел является натуральным числом

$m+\frac{(k+1)(k+2)}{2}\in N$