Question

Функция f нечетная. Может ли выполняться равенство:
1) f(1) + f(-1)=1;
2) f(2) f(-2) = 3​

Answer 1

Ответ:

1) нет, не может

2) нет, не может

Решение:

1)

$f(1) + f(-1)=1$

Рассмотрим и преобразуем выражение в левой части, учитывая, что функция f - нечетная:

$f(1) + f(-1)=f(1)-f(1)=0$

Как видно, левая часть всегда равна 0. Следовательно, она не равна 1:

$\boxed{f(1) + f(-1)\neq 1}$

2)

$f(2) f(-2) = 3$

Аналогично, преобразуем выражение в левой части:

$f(2) f(-2) = f(2)\cdot(- f(2) )=-f^2(2)$

Квадрат любого выражения принимает только неотрицательные значения:

$f^2(2)\geqslant 0$

Тогда:

$-f^2(2)\leqslant 0$

Значит, левая часть может принимать только неположительные значения. Следовательно, она не может принимать значение, равное 3:

$\boxed{f(2) f(-2) \neq 3}$

Элементы теории:

Функция $y=f(x)$ называется нечетной, если для нее выполняется соотношение: $f(-x)=-f(x)$.