4. В ромбе со стороной 10/3 см и углом 120º через вершину тупого угла проведена плоскость на расстоянии 3/3 см от всех точек его большей диагонали. Найдите проекции диагоналей ромба на эту плоскость. (4 балла)
Ответы
Для решения этой задачи, давайте сначала найдем координаты вершин ромба и уравнение его большей диагонали.
Ромб задан стороной 10/3 см и углом 120 градусов. Это означает, что он делится на два равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет угол 60 градусов. Таким образом, мы можем найти координаты вершин ромба.
Пусть центр ромба находится в начале координат (0, 0). Тогда вершина ромба A имеет координаты (5/3, 0) и вершина B имеет координаты (-5/3, 0).
Теперь давайте найдем уравнение большей диагонали. Большая диагональ ромба соединяет вершины A и B и проходит через начало координат. Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), может быть записано в виде:
(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Подставляем координаты вершин A и B:
(y - 0) / (x - 5/3) = (0 - 0) / (-5/3 - 5/3)
(y - 0) / (x - 5/3) = 0
Сокращаем и упрощаем уравнение:
y / (x - 5/3) = 0
Так как знаменатель не может быть равен нулю, у нас есть уравнение прямой y = 0, которая является горизонтальной линией, проходящей через начало координат.
Теперь, когда мы имеем уравнение большей диагонали, давайте проведем плоскость, параллельную этой линии и на расстоянии 3/3 см (то есть 1 см) от нее. Уравнение этой плоскости будет иметь вид:
y = 1
Теперь нам нужно найти проекции диагоналей ромба на эту плоскость.
Первая диагональ ромба соединяет вершины A и B и проходит через начало координат. Так как уравнение плоскости y = 1 параллельно оси x, проекция первой диагонали на эту плоскость будет горизонтальной линией на высоте y = 1.
Вторая диагональ ромба соединяет вершины, которые лежат на оси y (0, 5/3) и (0, -5/3). Это значит, что проекция второй диагонали на плоскость y = 1 также будет вертикальной линией, проходящей через точки (0, 1) и (0, -1).
Итак, проекции диагоналей ромба на плоскость y = 1 будут следующими:
Горизонтальная линия на высоте y = 1.
Вертикальная линия, проходящая через точки (0, 1) и (0, -1).