Question

64. Які координати має четверта вершина прямокутника, якщо три
2) A (0; 0), B (1; 2),
його вершини, взяті послідовно, мають координати:
1) (8; 7), (2; 5), (3; 2);
2) (4:-1), (1; 2), (-1; 0)?

Answer 1

Для знаходження координат четвертої вершини прямокутника, ми можемо використовувати властивості прямокутника. Основна властивість прямокутника - протилежні сторони паралельні і всі кути праві. З цими властивостями ми можемо визначити довжини сторін і розташування четвертої вершини.

Ваші вершини прямокутника мають наступні координати:
A (0, 0)
B (1, 2)
C (?, ?) - ця вершина ще невідома
D (?, ?) - ця вершина ще невідома

З огляду на те, що кути прямокутника праві, ми можемо визначити довжини його сторін:

Довжина сторони AB = √((1-0)² + (2-0)²) = √(1² + 2²) = √5
Довжина сторони BC = √((?-1)² + (?-2)²) = √((?-1)² + (?-2)²)

З огляду на протилежні сторони паралельні, сторона BC повинна бути паралельна стороні AB, тобто їхні співвідношення буде наступним:

Довжина сторони BC = Довжина сторони AB

Таким чином, ми маємо:
√((?-1)² + (?-2)²) = √5

Розв'язавши це рівняння, ми зможемо знайти координати точки C, а потім можна буде знайти координати точки D.

√((?-1)² + (?-2)²) = √5
(?-1)² + (?-2)² = 5

Розкриваємо дужки:
(?² - 2? + 1) + (?² - 4? + 4) = 5

Спростимо рівняння:
2?² - 6? + 5 = 5

Відкидаємо "5" з обох боків:
2?² - 6? = 0

Ділимо обидва боки на "2":
?² - 3? = 0

Факторизуємо:
? (? - 3) = 0

Отримуємо два можливих значення для ?:
1) ? = 0
2) ? = 3

Таким чином, ми маємо два можливих варіанти для координат точки C:
1) C (0, 0)
2) C (3, 3)

Тепер ми можемо знайти координати точки D, знаючи, що прямокутник - це фігура зі співвідношенням протилежних сторін, тобто точка D буде симетричною до точки B відносно точки C.

1) Якщо C (0, 0):
D (2 * 0 - 1, 2 * 0 - 2) = (-1, -2)

2) Якщо C (3, 3):
D (2 * 3 - 1, 2 * 3 - 2) = (6 - 1, 6 - 2) = (5, 4)

Отже, у нас є два можливих набори координат для четвертої вершини прямокутника:
1) C (0, 0), D (-1, -2)
2) C (3, 3), D (5, 4)