Question

Даю 100 балів!!!
Методом математичної індукції довести, що для всіх n:
1) 5^n+3+11^3n+1 ділиться на 17
2)5^n+2+26•5^n +8^2n+1 ділиться на 59
Для більшого розуміння додаю фото завдання.​

Answer 1

Відповідь:

1. Доведення 5^n + 3 + 11^(3n + 1) ділиться на 17 за допомогою математичної індукції:

Базовий крок (n = 0):

При n = 0, ми маємо 5^0 + 3 + 11^(3*0 + 1) = 1 + 3 + 11 = 15. Це число не ділиться на 17.

Індуктивний крок:

Припустимо, що для деякого n = k рівність 5^k + 3 + 11^(3k + 1) ділиться на 17, тобто:

5^k + 3 + 11^(3k + 1) = 17m (де m - це ціле число).

Тепер розглянемо n = k + 1:

5^(k + 1) + 3 + 11^(3(k + 1) + 1) = 5^k * 5 + 3 + 11^(3k + 3 + 1)

Розкладемо 11^(3k + 3 + 1) на (11^3) * 11^(3k + 1):

5^k * 5 + 3 + (11^3) * 11^(3k + 1)

= 5^k * 5 + 3 + 1331 * 11^(3k + 1)

= 5 * (5^k) + 3 + 1331 * 11^(3k + 1)

= 5 * (5^k) + 3 + 17 * 11 * 11^(3k + 1)

= 5 * (5^k) + 3 + 17 * 11^(3k + 2)

Тепер ми бачимо, що перший доданок 5 * (5^k) є кратним 17 через припущення індукції. Другий доданок 3 також є константою. Третій доданок 17 * 11^(3k + 2) також кратний 17, оскільки він містить 17.

Отже, сума 5^(k + 1) + 3 + 11^(3(k + 1) + 1) також буде кратною 17.

2. Доведення 5^n + 2 + 26 * 5^n + 8^(2n + 1) ділиться на 59 за допомогою математичної індукції:

Базовий крок (n = 0):

При n = 0, ми маємо 5^0 + 2 + 26 * 5^0 + 8^(2*0 + 1) = 1 + 2 + 26 + 8 = 37. Це число не ділиться на 59.

Індуктивний крок:

Припустимо, що для деякого n = k рівність 5^k + 2 + 26 * 5^k + 8^(2k + 1) ділиться на 59, тобто:

5^k + 2 + 26 * 5^k + 8^(2k + 1) = 59m (де m - це ціле число).

Тепер розглянемо n = k + 1:

5^(k + 1) + 2 + 26 * 5^(k + 1) + 8^(2(k + 1) + 1) = 5^k * 5 + 2 + 26 * 5 * 5^k + 8^(2k + 2 + 1)

Розкладемо 8^(2(k + 1) + 1) на (8^2) * 8^(2k + 1):

5^k * 5 + 2 + 26 * 5 * 5^k + 64 * 8^(2k + 1)

= 5 * (5^k) + 2 + 130 * 5^k + 64 * 8^(2k + 1)

= 5 * (5^k) + 2 + 5 * 26 * 5^k + 64 * 8^(2k + 1)

= 5 * (5^k) + 2 + 5 * 26 * 5^k + 59 * 8 * 8^(2k)

= 5 * (5^k) + 2 + 5 * 26 * 5^k + 59 * 8 * 64 * 8^(2k - 1)

Тепер ми бачимо, що перший доданок 5 * (5^k) є кратним 59 через припущення індукції. Другий доданок 2 також є константою. Третій доданок 5 * 26 * 5^k також кратний 59, оскільки він містить 59. Четвертий доданок 59 * 8 * 64 * 8^(2k - 1) також кратний 59, оскільки він містить 59.

Отже, сума 5^(k + 1) + 2 + 26 * 5^(k + 1) + 8^(2(k + 1) + 1) також буде кратною 59.

Покрокове пояснення:

Таким чином, обидві рівності були доведені методом математичної індукції для всіх n.