Question

Помогите решить олимпиадное уравнение.
Догадалась, что второе нужно представить в виде суммы кубов, но ответ не выходит.

cos²x + √3 sin²x =(1+√3)(cosx-cosxsinx+sinx)

Answer 1

Ответ: Для решения данного уравнения, начнем с упрощения левой стороны:

cos²x + √3 sin²x = cos²x + (1 - cos²x)  (используем тождество sin²x = 1 - cos²x для sin²x)

= 1

Теперь у нас есть следующее уравнение:

1 = (1 + √3)(cosx - cosxsinx + sinx)

Теперь давайте упростим его, раскрыв скобки:

1 = cosx + √3cosx - cosxsinx - √3cosxsinx + sinx + √3sinx

Далее, сгруппируем подобные члены:

1 = (cosx + √3cosx) + (sinx + √3sinx) - cosxsinx - √3cosxsinx

1 = √3cosx + √3sinx - cosxsinx - √3cosxsinx

1 = √3(cosx + sinx) - cosxsinx(1 + √3)

Теперь у нас есть уравнение:

1 = √3(cosx + sinx) - cosxsinx(1 + √3)

Теперь мы можем выразить cosxsinx:

cosxsinx = (3 - 1) / (1 + √3) = 2 / (1 + √3)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

1 = √3(cosx + sinx) - (2 / (1 + √3))(1 + √3)

1 = √3(cosx + sinx) - (2 / (1 + √3))(1 + √3)

1 = √3(cosx + sinx) - 2

Теперь, чтобы избавиться от корня, делим обе стороны на √3:

(1/√3) = cosx + sinx - 2/√3

Теперь у нас есть уравнение:

(1/√3) = cosx + sinx - 2/√3

Теперь сложим и вычтем 2/√3 справа:

(1/√3) = (cosx + sinx - 2/√3) + (2/√3 - 2/√3)

(1/√3) = (cosx + sinx - 2/√3) + 0

Теперь у нас есть:

(1/√3) = cosx + sinx - 2/√3

Добавим 2/√3 к обеим сторонам:

(1/√3) + 2/√3 = cosx + sinx - 2/√3 + 2/√3

1 = cosx + sinx

Теперь у нас есть окончательное уравнение:

1 = cosx + sinx