Question

тригономические уравнение
$\cot \alpha - \tan \alpha = 2 \cot2 \alpha$
пажалуста помогите по расписанию завтра есть алгебра .Алгебра я не очень та понимаю​

Answer 1

Ответ:

$\alpha \in\left(\dfrac{\pi n}{2};\ \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb{Z}$

Решение:

$\mathrm{ctg}\, \alpha -\mathrm{tg}\, \alpha =2\, \mathrm{ctg}\, 2\alpha$

Преобразуем левую часть уравнения:

$\mathrm{ctg}\, \alpha -\mathrm{tg}\, \alpha =\dfrac{\cos\alpha }{\sin \alpha } -\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha } =\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha } =$

$=2\cdot \dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha } =2\cdot \dfrac{\cos2\alpha }{\sin 2\alpha } =2\,\mathrm{ctg}\,2\alpha$

Заметим, что левая часть преобразовалась к правой. Значит, соотношение выполняется при всех допустимых значениях переменной.

Найдем ОДЗ. Тангенс определен, когда косинус соответствующего аргумента не равен нулю, а котангенс определен, когда синус соответствующего аргумента не равен нулю.

$\begin{cases} \sin \alpha \neq 0 \\ \cos\alpha \neq 0 \\ \sin 2\alpha \neq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} \alpha \neq \pi k \\ \alpha \neq \dfrac{\pi }{2}+\pi m \\ 2\alpha \neq \pi n \end{cases}$

$\begin{cases} \alpha \neq \pi k \\ \alpha \neq \dfrac{\pi }{2}+\pi m \\ \alpha \neq \dfrac{\pi n}{2} \end{cases},\ k,m,n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что третье условие требует исключения тех же точек, что в первом и втором условиях вместе. Тогда, запись можно упростить:

$\alpha \neq \dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$

Полученное условие фактически является решением уравнения.

В виде промежутков этот же результат можно записать в виде:

$\boxed{\alpha \in\left(\dfrac{\pi n}{2};\ \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb{Z}}$

Элементы теории:

Выражения для тангенса и котангенса:

$\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

$\mathrm{ctg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

Формулы синуса и косинуса двойного угла:

$\sin2x=2\sin x\cos x$

$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$