дослідіть функцію f(x)=x⁴-4x²+9 на проміжки спадання та зростання; на найбільше та найменше значення функції
Ответы
Відповідь:
Це знов я.
Це поліноміальна функція 4-го ступеня.
Проміжки зростання та спадання
Для визначення проміжків зростання та спадання функції, необхідно знайти похідну функції. Похідна цієї функції є f’(x) = 4x³ - 8x.
Функція зростає, коли f’(x) > 0, і спадає, коли f’(x) < 0. Оскільки f’(x) = 0 при x = 0 та x = ±√2, то:
Функція зростає на проміжках (-∞, -√2) та (√2, ∞), оскільки f’(x) > 0 для x < -√2 та x > √2.
Функція спадає на проміжку (-√2, √2), оскільки f’(x) < 0 для -√2 < x < √2.
Максимальне та мінімальне значення функції
Максимальне та мінімальне значення поліноміальної функції можна знайти за допомогою похідної. Ми вже знайшли, що похідна дорівнює нулю при x = 0 та x = ±√2.
Значення функції в цих точках є:
f(0) = (0)⁴ - 4*(0)² + 9 = 9
f(±√2) = (±√2)⁴ - 4*(±√2)² + 9 = 16 - 8 + 9 = 17
Оскільки це поліном четвертого ступеня з додатним коефіцієнтом при найвищому ступеню (a = 1), графік функції виглядає як “W” і має два мінімуми та один максимум:
Максимальне значення функції становить 9 і досягається при x = 0.
Мінімальне значення функції становить 17 і досягається при x = ±√2.