Question

1.8.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність:

1) (a + 3)(a + 1) > a(a + 4)

2) 3(b - 4) + 2b < 5b - 10

3) (c - 4)(c + 4) > c ^ 2 - 20

4) x(x + 6) - x ^ 2 < 2(3x + 1)

5) (y + 5)(y - 2) >= 3y - 10

6) 8m ^ 2 - 6m + 1 <= (3m - 1) ^ 2 ;

7) a(a - 2) >= - 1

8) (b + 7) ^ 2 > 14b + 40​

Answer 1

Ответ:

1) Розкриваємо дужки: a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо 3 > 0, що є правильною нерівністю.

2) Розкриваємо дужки: 3b - 12 + 2b < 5b - 10. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо b > -1, що є правильною нерівністю.

3) Розкриваємо дужки: c^2 - 16 > c^2 - 20. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо 4 > 0, що є правильною нерівністю.

4) Розкриваємо дужки: x^2 + 6x - x^2 < 6x + 2. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо 0 < 2, що є правильною нерівністю.

5) Розкриваємо дужки: y^2 + 3y - 10 >= 0. Розв'язуємо квадратне рівняння: (y + 5)(y - 2) >= 0. Знаходимо корені: y1 = -5, y2 = 2. Перевіряємо умову знаків і отримуємо, що нерівність виконується при y <= -5 або y >= 2.

6) Розкриваємо дужки: 8m^2 - 6m + 1 <= 9m^2 - 6m + 1. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо -m^2 <= 0, що є правильною нерівністю.

7) Розкриваємо дужки: a^2 - 2a >= -1. Переносимо все в одну сторону і отримуємо a^2 - 2a + 1 >= 0, що еквівалентне (a - 1)^2 >= 0. Так як квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним, то нерівність виконується для будь-якого значення a.

8) Розкриваємо дужки: b^2 + 14b + 49 > 14b + 40. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо b^2 + 9 > 0, що є правильною нерівністю.