Терміново! Даю 19 балів
Задача 10. Колесо радіусом R=0,1 м обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу дається рівнянням =4+2+^3 рад. Для точок, що лежать на ободі колеса, знайти через 3 с після початку руху
1) кутове, тангенціальне й нормальне прискорення,
2) число обертів, зроблених колесом до цього моменту часу,
3) середні лінійну й кутову швидкості за цей час.
Ответы
1) щоб знайти кутове прискорення колеса, ми диференціюємо рівняння для кута повороту двічі за часом:
θ(t) = 4t + 2t^2 + t^3
Перша похідна дасть нам кутову швидкість:
ω(t) = dθ(t)/dt = 4 + 4t + 3t^2
А друга похідна дасть нам кутове прискорення:
α(t) = d²θ(t)/dt² = 4 + 6t
Тепер перейдемо до тангенціального і нормального прискорень. Тангенціальне прискорення at можна виразити наступним чином:
at(t) = R * α(t)
де R-радіус колеса. Значення R дано в задачі і дорівнює 0,1 м.
Нормальне прискорення ап (t) визначається наступним чином:
an(t) = R * ω(t)^2
Перейдемо до розрахунків.
Підставимо значення часу t = 3 секунди в рівняння:
θ(3) = 4(3) + 2(3^2) + 3^3 = 4 + 18 + 27 = 49 радіан
Далі, кутова швидкість:
ω(3) = 4 + 4(3) + 3(3^2) = 4 + 12 + 27 = 43 рад / з
Кутове прискорення:
α(3) = 4 + 6(3) = 4 + 18 = 22 рад / з^2
Тангенціальне прискорення:
at(3) = R * α(3) = 0,1 * 22 = 2,2 м/сек^2
Нормальне прискорення:
an(3) = R * ω(3)^2 = 0,1 * (43)^2 = 18,47 m / s^2
2) щоб знайти число обертів, зроблених колесом до моменту часу 3 секунди, ми можемо використовувати формулу:
N = θ / (2π)
Тоді:
N = 49 /(2π) ≈ 7,8 обороту
3) Середня лінійна швидкість Vavg за час t можна розрахувати, розділивши загальний пройдений шлях на час:
Vavg = L / t
де L - довжина кола колеса, L = 2πR.
Тоді:
Vavg = (2πR) / t = (2π * 0,1)/3 ≈ 0,21 м / сек
Середню кутову швидкість ωavg можна знайти, розділивши загальний кут повороту на час:
ωavg = θ / t = 49 / 3 ≈ 16,3 рад / сек
Таким чином, за час 3 секунди у колеса було пройдено приблизно 7,8 обороту, Середня лінійна швидкість склала близько 0,21 м/сек, а середня кутова швидкість була приблизно 16,3 рад/с.