Question

Известно, что в треугольнике АВС AB = 8, ВС = 7, СА = 9. На стороне АВ отмечена точка Р так, что АР = 2. Окружность, проходящая через точки Р и В, касается стороны АС в точке T и пересекает сторону ВС в точке О. Найдите длины отрезков АТ и ВO​

Answer 1

Ответ: AT = 4 ед,  BO = 3 3/7 ед

Объяснение:

Построив чертеж получим, что стороны AB и BC будут выступать в роли секущих для данной окружности, а AT,TC — касательными

Тогда по свойству секущей и  касательной, квадрат длины касательной (AT) равен произведению длины всей секущей, и ее части (AP) которая не входит внутрь окружности

AT² = AB·AP

AT² = 2·8

AT = 4

⇒ TC = AC - AT = 9 - 4 = 5

Теперь рассматриваем касательную ТС и секущую CB = 7

Пусть длинна  BO = x  ⇒ OC = CB - x = 7 - x

По тому же свойству

ТС² = OC·BC

5²  =  (7-x)·7

49 - 7x = 25

$7x = 24 \\\\ \boldsymbol {\underline{BO = x =3 \dfrac{3}{7}}}$