Question

УМОЛЯЮ ПОМОГИТЕ
1. Имеется 13 дробей, числителями и знаменателями которых являются
числа 1, 2, 3, ..., 26. Каждое число встречается ровно один раз, независимо
от того, в числителе или знаменателе оно стоит. Какое наибольшее число
ЭТИх дробей могут выражать целые числа?
ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПЛИЗЗЗ

Answer 1

Ответ:

Максимум 11 дробей могут выражать целые числа

Решение:

Разобьем числа от 1 до 26 на две группы: от 1 до 13 и от 14 до 26.

Каждое число из первой группы (от 1 до 13) в теории может быть записано в дроби, выражающей целое число. Например, каждое из этих чисел может стоять в знаменателе дроби, а в числителе при этом может стоять число, в 2 раза большее - это четные числа от 2 до 26, все эти числа есть в наличии.

Теперь рассмотрим вторую группу (от 14 до 26). Заметим, что в ней имеется 3 простых числа: 17, 19, 23. Для получения дроби, выражающей целое число, в знаменателе никакое из этих чисел стоять не может, так как в числителе для этого должно стоять число, хотя бы в 2 раза большее, но наибольшее число из имеющихся - это 26. В числителе же эти числа стоять могут, при условии, что в знаменателе будет стоять число 1. Но поскольку число 1 можно использовать только один раз, то как минимум два числа окажутся в этой ситуации без подходящего числа в знаменателе. Таким образом, хотя бы две дроби не будут выражать целое число.

Расстановку, при которой ровно две дроби не выражают целые числа, показать можно:

$\dfrac{26}{13} ;\ \dfrac{25}{5} ;\ \dfrac{24}{12} ;\ \dfrac{23}{1} ;\ \dfrac{22}{11} ;\ \dfrac{21}{7} ;\ \dfrac{20}{10} ;\ \dfrac{19}{*} ;\ \dfrac{18}{9} ;\ \dfrac{17}{*} ;\ \dfrac{16}{8} ;\ \dfrac{15}{3} ;\ \dfrac{14}{2}$

Вместо звездочек в данной расстановке можно дописать оставшиеся числа 4 и 6 в любой последовательности. Дроби с участием этих чисел не выражают целые числа, остальные 11 дробей - выражают целые числа.

Таким образом, больше 11 дробей выражать целые числа не могут, а для 11 дробей была показана расстановка.