1. Вісім гостей випадковим чином займають місця за столом, сервірованим на 12 персон. Яка ймовірність того, що:
а) кожен гість займе місце, приготоване спеціально для нього: б) дві найважливіші персони виявляться за столом поруч,
2. Серед десяти команд науково-технічного конкурсу у м. Одеса 4 команди з Університету шляхів сполучення (УШС) і 2 - Аграрного університету (АУ) . Для участі в конкурсі на сцену жеребкуванням викликають 3 команди. Яка ймовірність, що серед них:
а) всі команди з УШС;
б) одна команда з УШС, а дві інші не з АУ?
Ответы
Ответ:
а) Щоб кожен гість зайняв своє місце, імовірність цього для першого гостя дорівнює 1 (оскільки він може вибрати будь-яке з 12 місць), для другого гостя - 1/11 (оскільки залишилося 11 місць), для третього - 1/10 і так далі. Таким чином, загальна ймовірність дорівнює добутку цих ймовірностей:
1 * (1/11) * (1/10) * ... * (1/2) * (1/1) = 1/11! (11 факторіал, тобто 11 * 10 * 9 * ... * 2 * 1)
б) Щоб дві найважливіші персони виявилися поруч, ми можемо розглядати це як одну "супер-персону". Залишилося 11 місць для розсадки цієї супер-персони та інших 6 гостей. Таким чином, імовірність цього розташування дорівнює 11! (факторіал) - 6! (факторіал) / 12! (факторіал). Ми віднімаємо 6! для врахування всіх можливих розсадок інших гостей.
а) Щоб всі 3 команди були з УШС, вибираємо 3 команди з 4 можливих команд УШС, імовірність чого дорівнює C(4,3), де C - це комбінаторний коефіцієнт:
C(4,3) = 4! / (3!(4-3)!) = 4
Тепер вибираємо 3 команди з 10 загальних команд, імовірність чого дорівнює C(10,3):
C(10,3) = 10! / (3!(10-3)!) = 120
Отже, загальна імовірність дорівнює (4 / 120) = 1 / 30.
б) Для того щоб одна команда була з УШС, а дві інші - не з АУ, ми можемо розглядати це як дві окремі ситуації і враховувати їх окремо.
Ймовірність обрання 1 команди з УШС і 2 команд із залишку (8 команд, не з АУ):
C(4,1) * C(8,2) / C(10,3) = (4 * 28) / 120 = 14 / 15.
Отже, імовірність цієї ситуації дорівнює 14/15.