Question

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ! ДАЮ 100 балов!!
Доказать равенство применяя метод математической индукции

НОМЕР 1.6

С полным объяснением

Answer 1

1.

Проверяем истинность утверждения для $n=1$

$arctga\frac{1}{2\cdot 1^2}=arctg\frac{1}{2\cdot 1}=arctg\frac{1}{2}$

2.

Предполагаем, что истинно для $n=k$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{k}arctg\frac{1}{2i^2}=arctg\frac{k}{k+1}$

3. Доказываем, что истинно, для $n=k+1$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}arctg\frac{1}{2i^2}=arctg\frac{k+1}{k+2}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{k+1}arctg\frac{1}{2i^2}=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}arctg\frac{1}{2i^2}+arctg\frac{1}{2(k+1)^2}=arctg\frac{k}{k+1}+arctg\frac{1}{2(k+1)^2}=$

------------------

$arctg(a)+arctg(b)=arctg\frac{a+b}{1-ab}$

------------------

$=arctg\frac{\frac{k}{k+1}+\frac{1}{2(k+1)^2}}{1-\frac{k}{k+1}\cdot \frac{1}{2(k+1)^2}}=arctg\frac{\frac{2k(k+1)}{2(k+1)^2}+\frac{1}{2(k+1)^2}}{1-\frac{k}{2(k+1)^3}}=$

$=arctg\frac{\frac{2k(k+1)+1}{2(k+1)^2}}{\frac{2(k+1)^3-k}{2(k+1)^3}}=arctg \frac{2k(k+1)+1}{2(k+1)^2}\cdot \frac{{2(k+1)^3}}{2(k+1)^3-k}=arctg \frac{(2k(k+1)+1)(k+1)}{2(k+1)^3-k} =$

$=arctg \frac{(2k^2+2k+1)(k+1)}{2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1)-k} =arctg \frac{(2k^2+2k+1)(k+1)}{2k^3 + 6k^2 + 6k + 2-k} =arctg\frac{(2k^2+2k+1)(k+1)}{2k^3 + 6k^2 + 5k + 2}) =$

$=arctg \frac{(2k^2+2k+1)(k+1)}{(k + 2)(2k^2 + 2k + 1)}=arctg \frac{k+1}{k + 2}$