Question

Вычислить пределы 4-7

Answer 1

Ответ:

Применяем замену бесконечно малых величин эквивалентными  .

$\bf 4)\ \ \lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{sin^23x}{x\cdot tg\, 12x}=\Big[\ sin\, \alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ \ tg\, \alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ \ \alpha (x)\to 0\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{(3x)^2}{x\cdot 12x}=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{9x^2}{12x^2}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$  

$\bf 6)\ \ \lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{arcsin\, 5x^2}{\sqrt{1+10x^2}-1}=\Big[\ arcsin\, \alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ (\sqrt{1+\alpha (x)}-1)\sim \dfrac{\alpha (x)}{2}\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{5x^2}{\dfrac{10x^2}{2}}=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{10x^2}{10x^2}=1$  

$\bf 7)\ \ \lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{e^{x}-1}{x^3}=\Big[\ (e^{x}-1)\sim x\ \Big]==\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{x}{x^3}=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{1}{x^2}=\infty$    

5)  Применим второй замечательный предел  :  

     $\bf \lim\limits _{g(x) \to \infty }\Big (1+\dfrac{1}{g(x)}\Big)^{g(x)}=\ e$                    

$\bf \lim\limits _{x \to \infty}\Big( \dfrac{x+5}{x+1}\Big)^{3x-2}=\lim\limits _{x \to \infty}\, \Big(1+\dfrac{4}{x+1}\Big)^{3x-2}=\lim\limits _{x \to \infty}\, \Big(1+\dfrac{4}{x+1}\Big)^{\frac{x+1}{4}\cdot \frac{4\, (3x-2)}{x+1} }=\\\\\\=\lim\limits _{x \to \infty}\, \left(\Big(1+\dfrac{4}{x+1}\Big)^{\frac{x+1}{4}}\right)^{\frac{4\, (3x-2)}{x+1} }=e^{^{\lim\limits_{x \to \infty}\frac{12x-8}{x+1}}}=e^{^{12}}$