Question

Срочно! даю 100 балов знайдіть обернену матрицю А 1, якщо
ForceOne ти шариш полюбе хелп

Answer 1

Обернена матриця $A^{-1}$ визначається таким чином, що $AA^{-1}=A^{-1}A=I$, де $I$ - це одинична матриця.

Щоб знайти обернену матрицю, ми можемо використовувати метод Гаусса-Жордана, який включає розширену матрицю $[A|I]$, а потім редукцію до рядкової ешелонної форми, що дає нам $[I|A^{-1}]$.

Матриця $A$ має вигляд:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -3 & 9 & 3 \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right)$

Одинична матриця $I$ має вигляд:

$I=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

Тоді розширена матриця $[A|I]$ має вигляд:

$[A|I]=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 9 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

Тепер ми можемо почати процес редукції до рядкової ешелонної форми:

1. Додамо 3-й рядок до 2-го рядка, щоб отримати новий 2-й рядок:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 6 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

2. Поділимо 2-й рядок на 11, щоб отримати новий 2-й рядок:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{6}{11} & 0 & \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

3. Віднімемо 2-й рядок, помножений на 2, з 3-го рядка, щоб отримати новий 3-й рядок:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{6}{11} & 0 & \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \\ 0 & 0 & \frac{9}{11} & 0 & -\frac{2}{11} & \frac{9}{11}\end{array}\right)$

4. Поділимо 3-й рядок на $\frac{9}{11}$, щоб отримати новий 3-й рядок:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{6}{11} & 0 & \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{9} & 1\end{array}\right)$

5. Віднімемо 3-й рядок від 1-го рядка, щоб отримати новий 1-й рядок:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & \frac{2}{9} & -1 \\ 0 & 1 & \frac{6}{11} & 0 & \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{9} & 1\end{array}\right)$

6. Віднімемо 3-й рядок, помножений на $\frac{6}{11}$, від 2-го рядка, щоб отримати новий 2-й рядок:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & \frac{2}{9} & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{11} - \frac{12}{99} & \frac{1}{11} - \frac{6}{11} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{9} & 1\end{array}\right)$

Це дає нам:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & \frac{2}{9} & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{99} & -\frac{5}{11} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{9} & 1\end{array}\right)$

Отже, обернена матриця $A^{-1}$ має вигляд:

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & \frac{2}{9} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{99} & -\frac{5}{11} \\ 0 & -\frac{2}{9} & 1\end{array}\right)$

Це є оберненою матрицею до заданої матриці $A$. Ми можемо перевірити це, помноживши $A$ та $A^{-1}$, і ми повинні отримати одиничну матрицю.