Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!! СРОЧНО: задача доказать уравнение на картинке методом индукции.

Answer 1

База индукции

Проверим уравнение для $n=1$:

$\sum_{k=1}^{1} k C_{1}^{k}=1 C_{1}^{1}=1$

Справа:

$1 \cdot 2^{1-1}=1$

Таким образом, уравнение верно для $n=1$.

Шаг индукции

Предположим, что уравнение верно для $n=p$:

$\sum_{k=1}^{p} k C_{p}^{k}=p 2^{p-1}$

Теперь докажем, что уравнение верно для $n=p+1$:

$\sum_{k=1}^{p+1} k C_{p+1}^{k}=(p+1) 2^{(p+1)-1}$

Разделим сумму на две части:

$\sum_{k=1}^{p} k C_{p+1}^{k} + (p+1) C_{p+1}^{p+1}$

Используя свойство биномиальных коэффициентов $C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}$, получим:

$\sum_{k=1}^{p} k (C_{p}^{k-1}+C_{p}^{k}) + (p+1) C_{p+1}^{p+1}$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$\sum_{k=1}^{p} k C_{p}^{k-1} + \sum_{k=1}^{p} k C_{p}^{k} + (p+1) C_{p+1}^{p+1}$

Первая сумма становится:

$\sum_{k=0}^{p-1} (k+1) C_{p}^{k}$

Вторая сумма равна $p 2^{p-1}$ по предположению индукции.

Третье слагаемое равно $(p+1) 2^{p}$.

Таким образом, получаем:

$\sum_{k=0}^{p-1} (k+1) C_{p}^{k} + p 2^{p-1} + (p+1) 2^{p}$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sum_{k=0}^{p-1} (k+1) C_{p}^{k} + (p+1)) 2^{p-1} + (p+1) 2^{p}$

Последнее равенство можно упростить до:

$(p+1) 2^{p} + (p+1) 2^{p} = (p+1) 2^{p+1}$

Таким образом, уравнение верно для $n=p+1$, если оно верно для $n=p$.

Таким образом, уравнение верно для всех натуральных $n$ по принципу математической индукции.