Question

Найти значение двойного интеграла по прямоугольнику

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{\pi }{12} +\frac{\sqrt{3}}{2} - 1$

Пошаговое объяснение:

Найдите значение двойного интеграла

$\displaystyle \iint\limits_D\frac{xdxdy}{y\sqrt{4- x^2 \cdot \ln ^2 y } } \, dx dy$   по   прямоугольнику

$D : 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{2} ~ , ~ 1 \leqslant y \leqslant e^2$

Начнем с интегрирования по y, поскольку там можно заметить формулу

$\displaystyle \boldsymbol { \int\limits \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2} } \; dx = \arcsin \frac{x}{a} + C}$

Тогда

$\displaystyle \iint\limits_D\frac{xdxdy}{y\sqrt{4- x^2 \cdot \ln ^2 y } } \, dx dy = \int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \, dx \int\limits^{e^2}_ {1} \frac{x}{y\sqrt{4 - x^2 \ln ^2y } } \, dy = \\\\\ = \bigg [(\ln y )' = \frac{1}{y} \bigg]=\int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \, dx \int\limits^{e^2}_ {1} \frac{x}{\sqrt{4 - x^2 \ln ^2y } } \, d(\ln y )$

Введем замену lny = t

$\displaystyle\int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \, dx \int\limits^{e^2}_ {1} \frac{x}{\sqrt{4 - x^2 \ln ^2y } } \, d(\ln y ) = \displaystyle\int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \, dx\cdot \int\limits^{e^2}_ {1} \frac{x}{\sqrt{4 - x^2t^2} } \, dt =\\\\\\ = \int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \, dx\cdot \int\limits^{e^2}_ {1} \frac{1}{\sqrt{2^2 - x^2t^2} } \, d(xt) =\int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \, \bigg(\arcsin \frac{xt}{2} \bigg) \Bigg | ^{e^2}_1 \; dx=$

$\displaystyle = \int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \, \bigg(\arcsin \frac{x\ln y }{2} \bigg) \Bigg | ^{e^2}_1 dx = \int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \bigg ( \arcsin \frac{x\ln e^2}{2} - \arcsin \frac{x\ln 1}{2} \bigg ) dx = \\\\\\\ = \int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 ( \arcsin x - 0 ) dx = \int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \arcsin x dx = \int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0( 1\cdot \arcsin x ) dx$

Применим формулу  интегрирования по частям :

$\displaystyle \boldsymbol { \int u \; dv = uv - \int v \; du}$

dv = 1  ⇒ v = x

$u = \arcsin x \Rightarrow du = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2} } dx$

$\displaystyle \int\limits( 1\cdot \arcsin x ) dx = x\cdot \arcsin x - \int\limits \frac{x}{\sqrt{1-x^2} } \, dx$

Рассматриваем оставшийся интеграл, и вводим последнюю замену

$\displaystyle \int\limits \frac{x}{\sqrt{1-x^2} } \, dx = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } d(1-x^2) =\left[\begin{array}{lll} \sqrt{s} = \sqrt{1-x^2} \\ s = 1 - x^2\\ \end{array}\right] = \\\\\\ = - \frac{1}{2} \int\limits s^{-\frac{1}{2} } \, ds = - \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{s} = - \sqrt{s} = - \sqrt{1-x^2}$

Следовательно

$\displaystyle \int\limits( 1\cdot \arcsin x ) dx = x\cdot \arcsin x + \sqrt{1-x^2}$

И наконец вычисляем определенный интеграл

$\displaystyle \int\limits^{\tfrac{1}{2} }_0 \arcsin x dx = (x\cdot \arcsin x + \sqrt{1-x^2} ) \bigg | ^{\tfrac{1}{2} } _0 = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{6} + \frac{\sqrt{3} }{2} - ( 0 + 1) = \\\\\\\ = \frac{\pi }{12} +\frac{\sqrt{3}}{2} - 1$