Question

80 баллов даю, решите пожалуйста 3 методами на фото подробно написанно какими методами

Answer 1

1) Метод Крамера

Обчислюємо визначники:

$D = \begin{vmatrix}5 & 2 & -3 \\-5 & 2 & 1 \\2 & 4 & 1\end{vmatrix} = 5*(2*1 - 4*1) - 2*(-5*1 - 2*1) - 3*(-5*4 - 2*2) = -10 - (-12) - (-24) = 26$

$D_x = \begin{vmatrix}-37 & 2 & -3 \\21 & 2 & 1 \\-20 & 4 & 1\end{vmatrix} = -37*(2*1 - 4*1) - 2*(21*1 + 20*1) + 3*(21*4 + 20*2) = 74 - 82 + 258 = 250$

$D_y = \begin{vmatrix}5 & -37 & -3 \\-5 & 21 & 1 \\2 & -20 & 1\end{vmatrix} = 5*(21*1 + 20*1) + 37*(-5*1 - 2*1) - 3*(-5*-20 - 2*21) = 205 - 259 + 130 = 76$

$D_z = \begin{vmatrix}5 & 2 & -37 \\-5 & 2 & 21 \\2 & 4 & -20\end{vmatrix} = 5*(2*-20 - 4*21) - 2*(-5*-20 - 2*21) - 37*(-5*4 - 2*2) = -460 - 180 + 148 = -492$

Тоді розв'язки системи рівнянь будуть:

$x = D_x / D = 250 / 26 \approx 9.62$

$y = D_y / D = 76 / 26 \approx 2.92$

$z = D_z / D = -492 / 26 \approx -18.92$

2) Метод Гаусса

Спочатку приведемо систему рівнянь до ступінчастого вигляду. Додамо перше рівняння до другого:

$\left\{\begin{array}{l}5x + 2y - 3z = -37 \\2y + z = 21 \\2x + 4y + z = -20\end{array}\right.$

Тепер віднімемо друге рівняння з третього:

$\left\{\begin{array}{l}5x + 2y - 3z = -37 \\2y + z = 21 \\2x = -62\end{array}\right.$

Тепер ми можемо вирішити ці рівняння зворотнім ходом. З третього рівняння отримуємо $x = -62 / 2 = -31$. Підставляючи $x$ в друге рівняння, отримуємо $y = (21 - z) / 2$. Підставляючи $x$ і $y$ в перше рівняння, отримуємо $z$.

$5*(-31) + 2*((21 - z) / 2) - 3z = -37$

$-155 + 21 - z - 3z = -37$

$-4z = 37 - 21 + 155$

$z = (37 - 21 + 155) / -4 = -42.75$

Підставляючи $z$ в друге рівняння, отримуємо $y = (21 - (-42.75)) / 2 = 31.875$.

Отже, розв'язки системи рівнянь методом Гаусса є $x = -31$, $y = 31.875$, $z = -42.75$.

3) Метод оберненої матриці

Для використання методу оберненої матриці, спочатку потрібно знайти обернену матрицю до матриці коефіцієнтів системи рівнянь.

Матриця коефіцієнтів цієї системи рівнянь є:

$A = \begin{bmatrix}5 & 2 & -3 \\-5 & 2 & 1 \\2 & 4 & 1\end{bmatrix}$

Вектор вільних членів цієї системи рівнянь є:

$b = \begin{bmatrix}-37 \\21 \\-20\end{bmatrix}$

Обернена матриця обчислюється за формулою $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot C^T$, де $C^T$ - транспонована матриця алгебраїчних доповнень.

Ми вже обчислили визначник матриці $A$ раніше, $\det(A) = 26$.

Тепер потрібно обчислити матрицю алгебраїчних доповнень $C$. Кожен елемент матриці алгебраїчних доповнень - це визначник матриці, отриманої видаленням відповідного рядка і стовпця з матриці $A$, помножений на $(-1)^{i+j}$, де $i$ і $j$ - номери рядка і стовпця відповідного елемента.

Після обчислення матриці алгебраїчних доповнень і транспонування її, отримуємо матрицю:

$C^T = \begin{bmatrix}-6 & -18 & 20 \\-8 & -10 & 10 \\-10 & 30 & 20\end{bmatrix}$

Тепер можемо обчислити обернену матрицю:

$A^{-1} = \frac{1}{26} \cdot C^T = \begin{bmatrix}-6/26 & -18/26 & 20/26 \\-8/26 & -10/26 & 10/26 \\-10/26 & 30/26 & 20/26\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.23 & -0.69 & 0.77 \\-0.31 & -0.38 & 0.38 \\-0.38 & 1.15 & 0.77\end{bmatrix}$

Тепер можемо помножити обернену матрицю на вектор вільних членів, щоб отримати розв'язок системи рівнянь:

$x = A^{-1} \cdot b = \begin{bmatrix}-0.23 & -0.69 & 0.77 \\-0.31 & -0.38 & 0.38 \\-0.38 & 1.15 & 0.77\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-37 \\21 \\-20\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9.62 \\2.92 \\-18.92\end{bmatrix}$

Отже, розв'язок системи рівнянь методом оберненої матриці є $x = 9.62$,$y = 2.92$, $z = -18.92$.