Question

Известно, что квадратная матрица A = (a b c d ) перестановочна с любой другой матрицей 2×2. Докажите, что — скалярная матрица (то есть её элементы вне главной

диагонали нулевые, а элементы на главной диагонали равны друг другу).

Answer 1

Ответ:

ниже читай

Объяснение:

Для доказательства данного утверждения давайте рассмотрим произвольную матрицу B = (e f g h), где e, f, g и h - произвольные элементы. Мы знаем, что матрица A перестановочна с любой другой матрицей 2×2, что означает:

AB = BA

Теперь давайте умножим матрицу A на матрицу B слева:

AB = (a b c d) * (e f g h)

Это дает нам следующие уравнения для произведения:

ae + bg = ea + fb (1)

af + bh = ec + fd (2)

ce + dg = ga + hb (3)

cf + dh = gc + hd (4)

Теперь давайте рассмотрим уравнение (1). Учитывая, что AB = BA, мы можем записать это уравнение как:

ae + bg = ae + bf

Теперь вычтем ae с обеих сторон:

bg = bf

Так как a ≠ b (по условию, элементы на главной диагонали матрицы A равны друг другу), мы можем поделить обе стороны на (a - b):

g = f

Аналогичным образом, анализируя уравнения (2), (3) и (4), мы также приходим к выводу, что:

h = e

c = d

c = e

f = g

g = h

Таким образом, элементы матрицы B находящиеся вне главной диагонали равны между собой (e, f, g, h), и элементы на главной диагонали также равны друг другу. Таким образом, матрица B является скалярной матрицей.