Дано пряму а і т. А, що не лежить на ній. Довести що пряма С, яка проходить через т. А і перетинає пряму , лежить з нимив одній площині.
Ответы
Ответ:
Необхідно довести, що пряма С лежить в одній площині з прямою а і т. А. Для цього достатньо показати, що вектори, що задають прямі а і С, лежать в одній площині.
Нехай точка А має координати (x1, y1, z1), а пряма а задається параметричними рівняннями:
x = x1 + at
y = y1 + bt
z = z1 + ct
Для прямої С задамо точку B з координатами (x2, y2, z2), через яку проходить пряма С, і вектор напрямку d = (dx, dy, dz).
Тоді параметричні рівняння прямої С мають вигляд:
x = x2 + adt
y = y2 + bdt
z = z2 + cdt
Вектор, що задає пряму а, можна записати як:
v1 = (a, b, c)
А вектор, що задає пряму С, можна записати як:
v2 = (dx, dy, dz)
Якщо вектори v1 і v2 лежать в одній площині, то їх векторний добуток дорівнюватиме нулю:
v1 x v2 = 0
Розрахуємо векторний добуток:
v1 x v2 =
= (b * dz - c * dy, c * dx - a * dz, a * dy - b * dx)
Якщо цей вектор дорівнює нулю, то вектори v1 і v2 лежать в одній площині.
Розглянемо кожну координату окремо:
b * dz - c * dy = acos(α) * dsin(β) - asin(α) * dcos(β) = ad(sin(β)cos(α) - cos(β)sin(α)) = 0
c * dx - a * dz = acos(β) * dsin(γ) - asin(β) * dcos(γ) = ad(sin(γ)cos(β) - cos(γ)sin(β)) = 0
a * dy - b * dx = acos(γ) * dsin(α) - asin(γ) * dcos(α) = ad(sin(α)cos(γ) - cos(α)sin(γ)) = 0
Отже, усі три координати векторного добутку дорівнюють нулю, тому вектори v1 і v2 лежать в одній площині. Це означає, що пряма С лежить в одній площині з прямою а і т. А.
Відміть як Найкраща відповідь будь ласка