Статистика. Нужно доказать одно выражение с суммой сочетаний, само выражение: C из n по 0 + С из n по 1+ С из n по 2 и т. д. до + С из n по n =2 в n- ой степени. Вот нужно доказать, что сумма сочетаний равна этому.
Ответы
Ответ:
2^n
Пошаговое объяснение:
Давайте докажем это равенство методом индукции.
Предположим, что данное равенство верно для некоторого целого числа n = k, т.е.:
C(k, 0) + C(k, 1) + C(k, 2) + ... + C(k, k) = 2^k
Теперь докажем, что оно также верно для n = k + 1. Для этого давайте рассмотрим выражение для n = k + 1:
C(k+1, 0) + C(k+1, 1) + C(k+1, 2) + ... + C(k+1, k+1)
Мы можем воспользоваться формулой для вычисления биномиальных коэффициентов:
C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
Используя эту формулу, мы можем переписать каждый из биномиальных коэффициентов в выражении для n = k + 1:
C(k+1, 0) = C(k, 0) + C(k, -1) = C(k, 0) (поскольку C(k, -1) = 0)
C(k+1, 1) = C(k, 0) + C(k, 1)
C(k+1, 2) = C(k, 1) + C(k, 2)
И так далее. Теперь мы можем переписать выражение для n = k + 1 следующим образом:
C(k+1, 0) + C(k+1, 1) + C(k+1, 2) + ... + C(k+1, k+1) = (C(k, 0) + C(k, 0)) + (C(k, 0) + C(k, 1)) + (C(k, 1) + C(k, 2)) + ... + (C(k, k) + C(k, k+1))
Заметьте, что в каждой скобке второй член равен следующему члену в предыдущей скобке, за исключением последней скобки, где второй член равен нулю (поскольку C(k, k+1) = 0). Теперь мы можем сгруппировать члены и получим:
2*(C(k, 0) + C(k, 1) + C(k, 2) + ... + C(k, k))
Из предположения индукции мы знаем, что C(k, 0) + C(k, 1) + C(k, 2) + ... + C(k, k) = 2^k. Подставляем это значение в наше выражение:
2*(2^k) = 2^(k+1)
Таким образом, мы доказали, что если равенство выполняется для n = k, то оно также выполняется для n = k + 1. Это завершает доказательство методом индукции, и мы показали, что:
C(0, 0) + C(1, 0) + C(2, 0) + ... + C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n) = 2^n