Question

Даю много баллов!!! Пожалуйста, решить только пункты 2 и 3​

Answer 1

2) Записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления:

Запишем систему уравнений в матричной форме:

$\[\begin{bmatrix}1 & 1 & -3 \\4 & -3 & 0 \\5 & 2 & -7 \\\end{bmatrix}$  $\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6 \\7 \\-11 \\\end{bmatrix}$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Найдём обратную матрицу к матрице коэффициентов.

Матрица коэффициентов:

$\[A = \begin{bmatrix}1 & 1 & -3 \\4 & -3 & 0 \\5 & 2 & -7 \\\end{bmatrix}\]$

Вектор свободных членов:

$\[b = \begin{bmatrix}-6 \\7 \\-11 \\\end{bmatrix}\]$

Найдём обратную матрицу $A^{-1}$ с помощью формулы:

$\[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)\]$

где $\text{det}(A)$ - это определитель матрицы $A$, а $\text{adj}(A)$ - это присоединенная матрица к $A$

Определитель матрицы $A$ можно найти как:$\[\text{det}(A) = 1*(-3)*(-7) + 1*0*5 + (-3)*4*2 - 5*(-3)*1 - 2*0*1 - (-7)*4*1 = -33\]$

Присоединенная матрица к $A$ вычисляется как матрица алгебраических дополнений к $A$, транспонированная:

$\[\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}(-3)*(-7) - 2*0 & (1)*(-7) - 5*0 & 1*2 - 5*(-3) \\(1)*(-7) - 4*0 & (1)*(-7) - 5*1 & 1*2 - 4*(-3) \\(1)*0 - 4*2 & (1)*0 - 5*1 & 1*(-3) - 4*1 \\\end{bmatrix}^T\]$

$\[\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}21 & -7 & 17 \\-7 & -12 & -10 \\-8 & 0 & -7 \\\end{bmatrix}\]$

Можем вычислить обратную матрицу:

$\[A^{-1} = \frac{1}{-33} \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix}-21/33 & 7/33 & -17/33 \\7/33 & 12/33 & 10/33 \\8/33 & 0 & 7/33 \\\end{bmatrix}\]$

Теперь, когда есть обратная матрица, можем найти решение системы уравнений как произведение обратной матрицы и вектора свободных членов:

$\[\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}= A^{-1} \cdot b = \begin{bmatrix}-21/33 & 7/33 & -17/33 \\7/33 & 12/33 & 10/33 \\8/33 & 0 & 7/33 \\\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-6 \\7 \\-11 \\\end{bmatrix}\]$

$\[\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}(-21/33)*(-6) + (7/33)*7 + (-17/33)*(-11) \\(7/33)*(-6) + (12/33)*7 + (10/33)*(-11) \\(8/33)*(-6) + 0*7 + (7/33)*(-11) \\\end{bmatrix}\]$

Упростим:

$\[\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}42/33 + 49/33 + 187/33 \\-42/33 + 84/33 - 110/33 \\-48/33 - 77/33 \\\end{bmatrix}\]$

Сократим дроби:

\$\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}278/33 \\32/33 \\-125/33 \\\end{bmatrix}$

Решение системы уравнений:

$\[x = \frac{278}{33}, y = \frac{32}{33}, z = -\frac{125}{33}\]$

3) Решить методом Гаусса:

1. Приведем систему к ступенчатому виду:

$\[\left\{\begin{array}{l}x+y-3 z=-6 \\4 x-3 y=7 \\5 x+2 y-7 z=-11\end{array}\right.\]$

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на $4$, и из третьего уравнения первое, умноженное на $5$:

$\[\left\{\begin{array}{l}x+y-3 z=-6 \\0 x-7 y+12 z=31 \\0 x-3 y+2 z=19\end{array}\right.\]$

2. Теперь система имеет ступенчатый вид. Можем найти решение путем обратной подстановки. Из второго уравнения находим $y$:

$\[y = \frac{31 - 12z}{-7}\]$

Подставляем $y$ в третье уравнение и находим $z$:

$\[0x - 3\left(\frac{31 - 12z}{-7}\right) + 2z = 19\]$

Упростим уравнение:

$\[\frac{93 - 36z}{7} + 2z = 19\]$

Умножим всё на $7$, чтобы избавиться от дроби:

$\[93 - 36z + 14z = 133\]$

Соберём все слагаемые с $z$:

$\[-22z = 133 - 93\]$

$\[-22z = 40\]$

Можем найти $z$, разделив обе стороны уравнения на $-22$:

$\[z = \frac{40}{-22} = -\frac{20}{11}\]$

3. Теперь, когда мы знаем $z$, мы можем найти $y$, подставив $z$ в уравнение для $y$:

$\[y = \frac{31 - 12(-\frac{20}{11})}{-7} = -\frac{1}{3}\]$

Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$\[x + (-\frac{1}{3}) - 3(-\frac{20}{11}) = -6\]$

$\[x = -6 - \frac{60}{11} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\]$

Решение системы уравнений:

$\[x = \frac{1}{3}, y = -\frac{1}{3}, z = -\frac{20}{11}\]$