Question

y’=(y^2/x^2)+8*(y/x)+12
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Answer 1

Ответ:

Дифференциальное уравнение 1 порядка с однородными функциями

$\displaystyle \bf y'=\frac{y^2}{x^2}+8\cdot \frac{y}{x}+12$  

Решаем с помощью замены :   $\bf\dfrac{y}{x}=u\ \ ,\ \ y=ux\ \ ,\ \ y'=u'x+u$   ,

$\bf \displaystyle u'x+u=u^2+8u+12\ \ ,\ \ \ u'x=u^2+7u+12\ \ ,\\\\\\\frac{du}{dx}=\frac{u^2+7u+12}{x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \int \frac{du}{u^2+7u+12}=\int \frac{dx}{x}$  

Вычислим левый интеграл .

$\bf \displaystyle \int \frac{du}{u^2+7u+12}=\int \frac{du}{(u+3)(u+4)}=\\\\\\\frac{1}{(u+3)(u+4)}=\frac{A}{u+3}+\frac{B}{u+4}=\frac{A(u+4)+B(u+3)}{(u+3)(u+4)}\\\\\\1=(A+B)\cdot u+(4A+3B)\ \ \ \Rightarrow \\\\A+B=0\ \ \ ,\ \ \ \ A=-B\\4A+3B=1\ \ ,\ \ \ \ -4B+3B=1\ \ ,\ \ B=-\frac{1}{4}\ \ ,\ \ A=\frac{1}{4}$        

$\bf \displaystyle =\frac{1}{4}\int \frac{du}{u+3}-\frac{1}{4}\int \frac{du}{u+4} =\frac{1}{4}\cdot ln|u+3|-\frac{1}{4}\cdot ln|u+4|+lnC=\\\\\\=\frac{1}{4}\cdot ln\Big|\ \frac{y}{x}+3\ \Big|-\frac{1}{4}\cdot ln\Big|\ \frac{y}{x}+4\ \Big|+lnC$    

Найдём общее решение .  

$\bf \displaystyle \frac{1}{4}\cdot ln\Big|\ \frac{y}{x}+3\ \Big|-\frac{1}{4}\cdot ln\Big|\ \frac{y}{x}+4\ \Big|+lnC=ln|\, x\, |\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\sqrt[4]{\bf C\cdot \frac{\dfrac{y}{x}+3}{\dfrac{y}{x}+4}}=x\ \ \ ,\ \ \ \sqrt[4]{\bf \frac{C\cdot (y+3x)}{y+4x}}=x\ \ \ ,\ \ \ \frac{C\cdot (y+3x)}{y+4x}=x^4\ \ \ ,\\\\\\C(y+3x)=x^4(y+4x)\ \ \ ,\ \ \ Cy+3Cx=x^4y+4x^5\ \ ,\\\\y=\frac{4x^5-3Cx}{C-x^4}\ \ \ ,\ \ \ y=\frac{x\, (4x^4-3C)}{C-x^4}$