Question

1.94. Розв'яжіть рівняння: 1) x² + 25y² – 6ху – 24у + 9 = 0;
дам 20 баллов ​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \boldsymbol {\left \{ {{x=2.25} \atop {y=0.75}} \right. }$

Объяснение:

Формула

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Выделим полный квадрат относительно переменных х и y.

(x² - 2*x*3y + 9y²) = (x -3y)²

Теперь запишем всё уравнение с тем что осталось после выделения квадрата. (от  25y² мы уже забрали 9y², значит осталось 16y² и оставшийся "хвост"  (– 24у + 9)  )

(x² - 2*x*3y + 9y²) + 16y² -24y *9 = 0

Теперь выделим квадрат в оставшемся "хвосте"

(x - 3y)² + (4y)² -2*4y *3 + 3² = 0

(x - 3y)² + (4y - 3)² =0

Мы имеем сумму двух квадратов, т.е. сумму двух чисел, каждое из которых ≥ 0.

А сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю  одновременно.

Таким образом, мы получаем систему уравнений

$\displaystyle \left \{ {{x-3y=0} \atop {4y-3=0}} \right. \left \{ {{x=3y} \hfill \atop {y=0.75}} \right. \left \{ {x=2.25} \atop {y=0.75}} \right.$

Это и есть решение заданного уравнения.