Індивід споживає продукти X та Y і витрачає на них 40 грн. в день. Ціна товару Х - 2 грн., ціна товару Y - 4 грн. Функція корисності індивіда TU(X,Y)=2*X*Y. Яку максимальну загальну корисність отримає споживач у стані рівноваги?
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Для знаходження максимальної загальної корисності (TU) у стані рівноваги, спочатку розглянемо бюджет і обмеження витрат. Знаючи, що індивід витрачає 40 грн. в день і ціни на товари X та Y, ми можемо записати обмеження так:
2X + 4Y = 40
Тепер ми можемо виразити X з цього рівняння:
2X = 40 - 4Y
X = 20 - 2Y
Тепер, маючи вираз для X від Y, можемо підставити його в функцію корисності:
TU(X, Y) = 2 * X * Y
TU(20 - 2Y, Y) = 2 * (20 - 2Y) * Y
Знайдемо похідну функції TU по Y і прирівняємо її до нуля, щоб знайти точку максимуму:
d(TU)/dY = 2 * (20 - 2Y) - 4Y = 40 - 8Y - 4Y = 40 - 12Y
40 - 12Y = 0
12Y = 40
Y = 40 / 12
Y = 10/3
Тепер, знаючи значення Y, можемо знайти X за допомогою обмеження бюджету:
2X + 4Y = 40
2X + 4 * (10/3) = 40
2X + 40/3 = 40
2X = 40 - 40/3
2X = 120/3 - 40/3
2X = 80/3
X = (80/3) / 2
X = 80/6
X = 40/3
Таким чином, у стані рівноваги індивід буде витрачати 40/3 грн. на товар X і 10/3 грн. на товар Y. Максимальна загальна корисність досягається в цій точці і може бути знайдена, підставивши ці значення в функцію корисності TU:
TU(40/3, 10/3) = 2 * (40/3) * (10/3) = (80/9) * 10 = 800/9
Отже, максимальна загальна корисність, яку отримає споживач у стані рівноваги, дорівнює 800/9 грн.