1. Петрик перемножив всі числа від 1 до 100 та знайшов суму цифр добутку. Для отриманого числа знову порахував суму цифр і т.д. В результаті він отримав одноцифрове число. Яке?
2. Знайдіть найбільше натуральне число, яке ділиться на 36, в запису якого присутні всі 10 цифр по одному разу.
3. Доведіть, що число, записане трьома однаковими цифрами, ділиться і на 3, і на 37.
ПОМОГИТЕ СРОЧНО
Ответы
Ответ:
Петрик перемножив всі числа від 1 до 100, і це число дуже велике. Але для розв'язання цієї задачі нам не потрібно обчислювати сам добуток. Можна використовувати властивості суми цифр числа. Візьмемо, наприклад, число 123. Сума цифр цього числа дорівнює 1 + 2 + 3 = 6. І так, доки число не стане одноцифровим, ми будемо обчислювати суму цифр числа після кожного перемноження. Це відбувається так:
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * ... * 100 = велике число
Сума цифр великого числа = сума цифр (велике число) = сума цифр (сума цифр (сума цифр (...)))
Ми продовжуємо обчислення суми цифр, поки не отримаємо одноцифрове число.
Щоб знайти найбільше натуральне число, яке ділиться на 36 і має всі 10 цифр по одному разу, ми можемо розглядати суму цифр цього числа. Якщо сума цифр дорівнює 45 (1 + 2 + 3 + ... + 9), то число буде ділитися на 9, і якщо ще ділиться на 4 (бо 36 = 9 * 4), то воно буде ділитися і на 36. Таким чином, шукане число - це всі 10 цифр по порядку від 1 до 10, тобто 1234567890.
Для того щоб довести, що число, записане трьома однаковими цифрами, ділиться і на 3, і на 37, можна використовувати властивості ділення на 3 і ділення на 37.
Число, записане трьома однаковими цифрами, можна представити у вигляді 111a, де "a" - це цифра від 0 до 9.
Для ділення на 3: Сума цифр числа 111a дорівнює 1 + 1 + 1 + a = 3 + a. Тобто, сума цифр завжди ділиться на 3. Оскільки 3 ділиться на 3, то і число 111a також буде ділитися на 3.
Для ділення на 37: Щоб число ділилося на 37, сума цифр 111a повинна бути кратною 37. Однак сума цифр 111a завжди буде більшою або рівною 3 і меншою або рівною 39 (оскільки "a" - це цифра від 0 до 9). Немає такої комбінації цифр, для якої сума цифр 111a буде кратною 37. Тому число 111a не буде ділитися на 37.
Отже, число, записане трьома однаковими цифрами, ділиться на 3, але не ділиться на 37.
Пошаговое объяснение: