Question

Решите пример с помощью математической индукции(см. фото).
​

Answer 1

$1+4+7+10+...+(3n-2)=\frac{3n^2-n}{2}$

1. Проверяем истинность утверждения для n = 1.

$1=\frac{3\cdot1^2-1}{2}$

$1=\frac{3\cdot1-1}{2}$

$1=\frac{3-1}{2}$

$1=\frac{2}{2}$

$1=1$

2. Предполагаем, что истинно для n = k (k - произвольное натуральное число).

$1+4+7+10+...+(3k-2)=\frac{3k^2-k}{2}$

3. Доказываем, что истинно, для n = k + 1.

$1+4+7+10+...+(3(k+1)-2)=\frac{3(k+1)^2-(k+1)}{2}$

$1+4+7+10+...+(3k-2)+(3(k+1)-2)=\frac{3k^2-k}{2}+(3(k+1)-2)=$

$\frac{3k^2-k}{2}+(3k+3-2)=\frac{3k^2-k}{2}+3k+1=\frac{3k^2-k}{2}+\frac{2(3k+1)}{2}=$

$\frac{3k^2-k+2(3k+1)}{2}=\frac{3k^2-k+6k+2}{2}=\frac{3k^2+6k+3-k-1}{2}=$

$=\frac{3(k^2+2k+1)-(k+1)}{2}=\frac{3(k+1)^2-(k+1)}{2}$