Question

Решите:
1+2/2021+3/2021^2+4/2021^3+...
Можете помочь, с объяснением пожалуйста

Answer 1

Обозначим $q = 1/2021$

Наша задача найти сумму

$1+2q+3q^2+4q^3+...$

Рассмотрим функцию

$\displaystyle S(q) = q+q^2+q^3+q^4+... = \frac{q}{1-q}$

Финальное равенство следует из формулы для суммы геометрической прогрессии. Тогда производная

$\displaystyle S'(q)=1+2q+3q^2+... = \frac{(1-q)+q}{(1-q)^2} = \frac{1}{(1-q)^2}$

Заметим что слева получается требуемая нам сумма ряда. Поэтому ответ получен

$\displaystyle \frac{1}{(1-1/2021)^2} = \frac{4084441}{4080400}$