В параллелограмме АВСК угол АВС=120°, биссектрисы угол КАВ и угол АВС пересекаются в точке М, причём ВМ=12см. Найдите стороны данного параллелограмма, если его периметр равен 114 см.
Ответы
Так как биссектриса равна половине угла, то:
∠MBA = ∠CBM = 120°:2 = 60°
∠BAM = ∠MAK = 1/2 ∠A
Свойство: сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180°
Значит, ∠A = 180° - ∠B = 180° - 120° = 60° ⇒ ∠BAM = ∠MAK = 1/2 * 60° = 30°.
Рассмотрим треугольник ABM. Мы не знаем его угол ∠BMA, поэтому найдём значение:
∠BMA = 180° - ∠MBA - ∠BAM = 180° - 60° - 30° = 90°
Из этого следует, что ΔABM - прямоугольный (∠BMA = 90°).
Теорема: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Из этого следует то, что сторона BM, лежащая против угла ∠BAM = 30°, равна 1/2 BA.
Найдём BA:
BA= BM * 2 = 12 * 2 = 24 см
Теперь найдём другую сторону параллелограмма, используя формулу периметра.
P параллелограмма = 2(a + b)
P ABCK = 2(AB + BC)
114 = 2(24 + BC)
114 = 48 + 2*BC
2*BC = 114 - 48
2*BC = 66
BC = 66/2
BC = 33 см
Так как ABCK - параллелограмм, то противоположные стороны равны.
Ответ: AB = CK = 24 см; BC = AK = 33см