Ответы
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Давайте спростимо дану нерівність і доведемо її:
(a^2 + 25)(b^2 - 1) < 20ab
Спочатку розкриємо дужки:
a^2b^2 - a^2 + 25b^2 - 25 < 20ab
Тепер перенесемо всі члени на одну сторону нерівності:
a^2b^2 - a^2 + 25b^2 - 25 - 20ab < 0
Давайте розглянемо кожен член окремо:
1. a^2b^2 - a^2 - 20ab = a^2b^2 - a(a + 20b)
2. 25b^2 - 25 = 25(b^2 - 1)
Отже, ми можемо переписати нерівність так:
(a^2b^2 - a(a + 20b) + 25(b^2 - 1)) < 0
Тепер спростимо далі:
(a^2b^2 - a(a + 20b) + 25(b^2 - 1)) = (ab)^2 - a(a + 20b) + 25(b^2 - 1)
Тепер розглянемо кожен з множників окремо:
1. (ab)^2 завжди не менше нуля, оскільки квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним.
2. a(a + 20b) - добуток двох не від'ємних чисел, оскільки a ≥ 0 і a + 20b також не менше нуля.
3. 25(b^2 - 1) - різниця двох не від'ємних чисел, оскільки b ≥ 0 і b^2 - 1 також не менше нуля.
Таким чином, усі компоненти виразу (ab)^2 - a(a + 20b) + 25(b^2 - 1) не менше нуля.
Отже, нерівність (a^2 + 25)(b^2 - 1) < 20ab справді виконується при a ≥ 0 і b ≥ 0.