Question

Розв'яжіть рівняння sqrt(x - 2 + sqrt(x + 6)) = 4
Терміново! Буду дуже вдячна за допомогу

Answer 1

(x - 2 + sqrt(x + 6))^2 = 4^2

Розкриємо квадрат на лівому боці:
(x - 2 + sqrt(x + 6))(x - 2 + sqrt(x + 6)) = 16

Розкриємо дужки за допомогою спрощення двох добутків:
(x - 2)^2 + 2(x - 2)sqrt(x + 6) + (x + 6) = 16

Розкриємо квадрати:
x^2 - 4x + 4 + 2(x - 2)sqrt(x + 6) + x + 6 = 16

Перенесемо всі терміни на одну сторону рівняння, щоб отримати рівняння без кореня:
x^2 - 4x + 4 + x + 6 - 16 - 2(x - 2)sqrt(x + 6) = 0

Згрупуємо подібні терміни:
x^2 - 3x - 6 - 2(x - 2)sqrt(x + 6) = 0

Тепер виглядаємо рівняння стосовно кореня. Давайте виділимо його на окремий доданок:
2(x - 2)sqrt(x + 6) = x^2 - 3x - 6

Піднесемо обидва боки рівняння до квадрата, щоб позбутися від кореня:
4(x - 2)^2(x + 6) = (x^2 - 3x - 6)^2

Здійснимо обчислення:
4(x^2 - 4x + 4)(x + 6) = (x^2 - 3x - 6)^2

Розкриємо дужки і спростимо:
4x^3 + 72x^2 - 12x - 144 = x^4 - 6x^3 - 12x^2 + 9x^2 + 36x + 36

Перенесемо всі терміни на одну сторону рівняння і спростимо:
x^4 - 6x^3 - 72x^2 - 12x - 4x^3 - 72x^2 + 18x^2 + 12x + 144 - 36x - 36 = 0

Згрупуємо подібні терміни:
x^4 - 10x^3 - 36x^2 + 120 = 0

Тепер ми отримали квадратне рівняння відносно x^2. Зробимо заміну x^2 = y:
y^2 - 10y - 36y + 120 = 0

Згрупуємо подібні терміни в квадратному рівнянні:
y^2 - 46y + 120 = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Спростимо за допомогою ділення на 2:
y^2 - 46y + 120 = 0

(y - 30)(y - 16) = 0

Знайдемо значення y:
y - 30 = 0 -> y = 30

y - 16 = 0 -> y = 16

Тепер ми знаємо значення y, і можемо знайти значення x:
Для y = 30:
x^2 = y = 30
x = ±sqrt(30)
Для y = 16:
x^2 = y = 16
x = ±4