Основою прямого паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 є паралелограм ABCD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°. Кут між площинами ABC і A1CD дорівнює 45°. Знайдіть бічне ребро паралелепіпеда.
Ответы
Ответ:
Бічне ребро паралелепіпеда дорівнює 4 см.
Объяснение:
Основою прямого паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ є паралелограм ABCD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°. Кут між площинами ABC і A1CD дорівнює 45°. Знайдіть бічне ребро паралелепіпеда.
Маємо прямій паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основі якого лежить паралелограм АВСD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°.
1) Проведемо з точки А перпендикуляр до CD, так як ∠BAD = 30° то цей перпендикуляр попаде на продовження сторони CD: АЕ⊥CD.
У прямого паралелепіпеда бічне ребро АА₁ перпендикулярно до площини основи (ABC), тому АА₁ перпендикулярна до кожного відрізка, що лежить в площині основи, тобто АА₁⊥AЕ.
За теоремою «про три перпендикуляри» А₁Е⊥CD, тому ∠А₁ЕА - кут між площинами ABC і A₁CD.
Отже, ∠А₁ЕА = 45° .
2) Розглянемо прямокутний трикутник АDЕ (∠АЕD=90°)
∠АDЕ=∠BAD = 30° - як внутрішні різносторонні кути при АВ ║ CD (сторони паралелограма) і січній АD.
Катет АЕ лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АD:
(см)
3) Розглянемо прямокутний трикутник АА₁Е (∠А₁АЕ=90°)
За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника
∠АА₁Е = 90° - ∠А₁ЕА = 90° - 45° = 45°
Отже ΔАА₁Е - рівнобедрений з основою А₁Е.
АА₁ = АЕ = 4 см - як бічні сторони рівнобедреного трикутника.
Відповідь: 4 см
#SPJ1
![](https://st.uroker.com/files/0d3/0d3b95a125bb9e573adb366cad5bb202.jpg)