Question

Основою прямого паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 є паралелограм ABCD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°. Кут між площинами ABC і A1CD дорівнює 45°. Знайдіть бічне ребро паралелепіпеда.

Answer 1

Ответ:

Бічне ребро паралелепіпеда дорівнює 4 см.

Объяснение:

Основою прямого паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ є паралелограм ABCD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°. Кут між площинами ABC і A1CD дорівнює 45°. Знайдіть бічне ребро паралелепіпеда.

Маємо прямій паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основі якого лежить паралелограм АВСD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°.

1) Проведемо з точки А перпендикуляр до CD, так як ∠BAD = 30° то цей перпендикуляр попаде на продовження сторони CD: АЕ⊥CD.

У прямого паралелепіпеда бічне ребро АА₁ перпендикулярно до площини основи (ABC), тому АА₁ перпендикулярна до кожного відрізка, що лежить в площині основи, тобто АА₁⊥AЕ.

За теоремою «про три перпендикуляри» А₁Е⊥CD, тому ∠А₁ЕА - кут між площинами ABC і A₁CD.

Отже, ∠А₁ЕА = 45° .

2) Розглянемо прямокутний трикутник АDЕ (∠АЕD=90°)

∠АDЕ=∠BAD = 30° - як внутрішні різносторонні кути при АВ ║ CD (сторони паралелограма) і січній АD.

Катет АЕ лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АD:

$AE = \dfrac{1}{2} \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot 8 = \bf 4$ (см)

3) Розглянемо прямокутний трикутник АА₁Е (∠А₁АЕ=90°)

За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника

∠АА₁Е = 90° - ∠А₁ЕА = 90° - 45° = 45°

Отже ΔАА₁Е - рівнобедрений з основою А₁Е.

АА₁ = АЕ = 4 см - як бічні сторони рівнобедреного трикутника.

Відповідь: 4 см

#SPJ1