Задано вершини трикутника ABC. Знайти: 1) довжину сторони BC; 2) скласти рівняння BC; 3) скласти рівняння висоти AM; 4) знайти довжину висоти AM; 5) площу трикутника ABC; 6) величину кута B. Якщо A = -3, 4; B = 0, -2; C = 6, 1. Вища математика
Ответы
Ответ:
1) Довжина сторони BC:
Для знаходження довжини сторони BC можна використовувати формулу відстані між двома точками в координатній площині. Відстань між точками B і C:
BC = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)²)
BC = √((6 - 0)² + (1 - (-2))²)
BC = √(6² + 3²)
BC = √(36 + 9)
BC = √45
BC = 3√5
2) Рівняння BC:
Рівняння BC можна скласти використовуючи координати точок B і C:
BC: y = mx + b
Знайдемо нахил m:
m = (y_C - y_B) / (x_C - x_B)
m = (1 - (-2)) / (6 - 0)
m = 3/6
m = 1/2
Тепер, використовуючи координату B (0, -2), можна знайти b:
-2 = (1/2) * 0 + b
b = -2
Отже, рівняння BC:
BC: y = (1/2)x - 2
3) Рівняння висоти AM:
Для складання рівняння висоти AM, спершу знайдемо середину сторони BC (позначимо її як D). Координати D будуть середніми значеннями координат точок B і C:
D = ((x_B + x_C) / 2, (y_B + y_C) / 2)
D = ((0 + 6) / 2, (-2 + 1) / 2)
D = (3, -1/2)
Тепер ми маємо точку D (3, -1/2) і точку A (-3, 4). Використовуючи ці точки, можемо знайти рівняння прямої, яка проходить через них:
AM: y = mx + b
Знайдемо нахил m:
m = (y_A - y_D) / (x_A - x_D)
m = (4 - (-1/2)) / (-3 - 3)
m = (4 + 1/2) / (-6)
m = (9/2) / (-6)
m = -3/4
Тепер, використовуючи координату A (-3, 4), можна знайти b:
4 = (-3/4)(-3) + b
4 = (9/4) + b
b = 4 - 9/4
b = 16/4 - 9/4
b = 7/4
Отже, рівняння висоти AM:
AM: y = (-3/4)x + 7/4
4) Довжина висоти AM:
Для знаходження довжини висоти AM можна використовувати формулу відстані між точкою A і прямою AM. Відстань між точкою і прямою можна обчислити за такою формулою:
AM = |(Ax + By + C)| / √(A² + B²)
Для рівняння AM: y = (-3/4)x + 7/4, маємо A = -3/4, B = 1 і C = 7/4.
AM = |(-3/4 * -3 + 1 * 4 + 7/4)| / √((-3/4)² + 1²)
AM = |(9/4 + 4 + 7/4)| / √(9/16 + 1)
AM = |(9/4 + 16/4 + 7/4)| / √(25/16 + 16/16)
AM = |(32/4)| / √(41/16)
AM = (8)| / √(41/16)
AM = 8√(16/41)
AM = 8√(16) / √(41)
AM = (8 * 4) / √(41)
AM = 32 / √(41)
5) Площа трикутника ABC:
Площу трикутника можна знайти використовуючи координати вершин і формулу площі трикутника:
S = 1/2 * |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|
За даними координатами вершин A, B і C, маємо:
S = 1/2 * |-3(-2 - 1) + 0(1 - 4) + 6(4 - (-2))|
S = 1/2 * |-3(-3) + 0(-3) + 6(6)|
S = 1/2 * (9 + 0 + 36)
S = 1/2 * 45
S = 45/2
6) Величина кута B:
Для знаходження величини кута B можна використовувати тригонометричні співвідношення. Ми вже знайшли довжини сторін BC (3√5) і AM (32/√41). Величину кута B можна знайти за допомогою косинуса:
cos(B) = (BC) / (AM)
За даними значеннями:
cos(B) = (3√5) / (32/√