Побудуйте переріз правильного тетраедра ABCD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер AB та AC. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо AB = 3.
Ответы
Ответ:
Знайдімо середину ребра AB, позначимо її точкою M.
Проведемо пряму, яка проходить через вершину D і середину ребра AC (позначимо її точкою N). Ця пряма буде перетинатися з ребром BM в точці K.
Отримаємо точки перетину прямих: M - середина AB, N - середина AC, K - точка перетину ребра BM і прямої, яка проходить через D і N.
Тепер ми маємо три точки M, K і N, які утворюють переріз площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер AB і AC. Це утворює трикутник MKN.
Далі, враховуючи, що AB = 3, ми можемо визначити довжини сторін трикутника MKN. Також, оскільки тетраедр правильний, то ребро AD має таку ж довжину, як і ребра AB, тобто AD = 3.
За допомогою правила півсуми для знаходження довжини медіани в трикутнику, знаходимо MK і MN:
MK = 1/2 * (AB + AD) = 1/2 * (3 + 3) = 3.
MN = 1/2 * (AC + AD) = 1/2 * (3 + 3) = 3.
Тепер ми маємо три сторони трикутника MKN: MK = 3, MN = 3 і KN (це відрізок BM, тобто половина сторони тетраедра) також дорівнює 3.
Знаючи довжини сторін трикутника, можемо використовувати формулу площі Герона для знаходження площі трикутника:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
де p - половина периметру трикутника, a, b і c - довжини сторін трикутника.
Знайдемо периметр трикутника:
p = (MK + MN + KN) / 2 = (3 + 3 + 3) / 2 = 4.5.
Тепер розрахуємо площу трикутника MKN:
S = √(4.5 * (4.5 - 3) * (4.5 - 3) * (4.5 - 3)) = √(4.5 * 1.5 * 1.5 * 1.5) = √(11.8125) ≈ 3.44.
Отже, площа перерізу правильного тетраедра ABCD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер AB та AC, дорівнює близько 3.44 квадратних одиниці, а периметр цього перерізу дорівнює 9.
Объяснение: