Дан параллелограмм ABCD. На стороне BC отложена точка F. Прямые DF и AB пересекаются в точке E.
а) Нарисуйте соответствующий рисунок.
б) Напишите все пары подобных треугольников! Объясните сходство треугольников.
Помогите, пожалуйста! Срочно надо!
Ответы
ну начнем с того , что нужно понимать , что подобие треугольников базируется на 2 принципах :
1) стороны треугольников пропорциональны
2) хотябы 2 угла треугольника пропорциональны
Ну рассмотрим первую пару треугольников .
АЕD и ВЕF
начнем с простого , мы знаем что стороны параллелограмма попарно параллельны , так что из этого следует что AD||BF , далее базируясь на этом нужно понять что углы ЕАD и ЕВF равны , так как по сути прямая АЕ пересекает параллельные прямые и образует 2 угла , а они , как мы знаем , называются соответственными и они равны . Эта же ситуация работает с углами ЕFB и EDA .
Уже сейчас мы можем утверждать , что стороны пропорциональны так , что :
BF/AD=EB/EA=EF/ED
Первая пара подобных треугольников доказана .
вторая пара треугольников :
сразу заметим что АЕ и СD параллельны , т.к АВ и СD параллельны по определению параллелограмма .
проще всего доказать равность углов :
ЕD как и ВС являются секущими параллельных прямых , поэтому :
углы ВЕD и ЕDC равны
также равны и EBC и ВСD , по тем же причинам
( эти углы накрест лежащие )
углы ЕFB и CFD также равны так как они по сути вертикальные , значит равны по определению.
теперь пропорция сторон :
DF/DE=CD/BE=CF/CB
ну и последняя пара :
( тут подробно объяснять не буду , принцип с пред идущими одинаковый )
углы АЕD=ADC(накрест лежащие)
углы FCD=EAD(острые углы параллелограмма)
углы ЕDA=CFD(накрест лежащие)
пропорции :
СD/AE=CF/AD=DF/DE
я уверен в правильности моих утверждений касаемо равности углов , но я не могу доказать пропорциональность сторон , хотя я уверен , что я построил все пропорции правильно . я почти уверен что пропорциональность сторон можно доказать по обобщенной теореме Фалеса , но мне тяжело это сформулировать .
