Question

Доведіть, що при m ⩾ 0, n ⩾ 0 і k ⩾ 0

виконуєтся нерівність (m+1)(n+9)(k+4) ⩾ 48 √mnk

Answer 1

Ответ:

$(m+1)(n+9)(k+4) \ge 48\sqrt{mnk}$

Объяснение:

$(x-y)^2\ge0\\\\x^2-2xy+y^2\ge0\ \ \ |+4xy\\\\x^2+2xy+y^2\ge 4xy\\\\(x+y)^2\ge 4xy\ \ \ |\sqrt{}\\\\x+y\ge 2\sqrt{xy}$

$(m+1)(n+9)(k+4) \ge 2\sqrt{m\cdot 1}\cdot 2\sqrt{n\cdot 9}\cdot 2\sqrt{k\cdot 4}\\\\(m+1)(n+9)(k+4) \ge 2\sqrt{m}\cdot 2\sqrt{9n}\cdot 2\sqrt{4k}\\\\(m+1)(n+9)(k+4) \ge 2\sqrt{m}\cdot 2\cdot 3\sqrt{n}\cdot 2\cdot 2\sqrt{k}\\\\(m+1)(n+9)(k+4) \ge 48\sqrt{m}\cdot \sqrt{n}\cdot \sqrt{k}\\\\(m+1)(n+9)(k+4) \ge 48\sqrt{mnk}$