СРОЧНО!!! 100баллов
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) утол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3; 4)объем треугольной пирамиды;
A1(3;5;4), A2 (8;7;4),
A3 (5; 10;4), A4 (4;7;8).
Ответы
Для решения задачи, нам нужно выполнить следующие шаги:
1) Найдем длину ребра А1А2, которая будет равна расстоянию между точками A1 и A2.
2) Найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4, используя скалярное произведение векторов.
3) Найдем площадь грани А1А2А3, используя векторное произведение.
4) Найдем объем треугольной пирамиды, используя площадь грани и высоту пирамиды.
Начнем с первого пункта:
1) Длина ребра А1А2:
Для нахождения длины ребра между точками A1 и A2, мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
Длина ребра А1А2 = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Где (x1, y1, z1) - координаты точки A1, а (x2, y2, z2) - координаты точки A2.
A1(3; 5; 4), A2(8; 7; 4):
Длина ребра А1А2 = √((8 - 3)^2 + (7 - 5)^2 + (4 - 4)^2) = √(5^2 + 2^2 + 0^2) = √(25 + 4) = √29.
Таким образом, длина ребра А1А2 равна √29.
2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4:
Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем использовать следующую формулу для скалярного произведения векторов:
cos(θ) = (A1А2 * A1А4) / (|A1А2| * |A1А4|),
где θ - угол между векторами, A1А2 и A1А4 - векторы, |A1А2| и |A1А4| - их длины.
Мы уже нашли длину ребра А1А2 в пункте 1: |A1А2| = √29.
Теперь найдем векторы A1А2 и A1А4:
A1А2 = (8 - 3, 7 - 5, 4 - 4) = (5, 2, 0),
A1А4 = (4 - 3, 7 - 5, 8 - 4) = (1, 2, 4).
Теперь вычислим скалярное произведение векторов:
A1А2 * A1А4 = 5 * 1 + 2 * 2 + 0 * 4 = 5 + 4 + 0 = 9.
Теперь можно найти cos(θ):
cos(θ) = 9 / (√29 * |A1А4|).
|A1А4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √(1 + 4 + 16) = √21.
cos(θ) = 9 / (√29 * √21) = 9 / √(29 * 21).
Теперь найдем угол θ:
θ = arccos(9 / √(29 * 21)).
Вычислим значение θ с помощью калькулятора. Оно будет выражено в радианах.
3) Площадь грани А1А2А3:
Площадь грани треугольной пирамиды можно найти, используя векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. В данном случае, векторами будут A1А2 и A1А3.
A1А2 = (5, 2, 0),
A1А3 = (5 - 3, 10 - 5, 4 - 4) = (2, 5, 0).
Теперь найдем векторное произведение:
A1А2 × A1А3 = (2*0 - 5*0, 0*2 - 5*2, 5*5 - 2*0) = (0, -10, 25).
Длина этого вектора будет равна площади грани:
Площадь грани А1А2А3 = |A1А2 × A1А3| = √(0^2 + (-10)^2 + 25^2) = √(100 + 625) = √725.
4) Объем треугольной пирамиды:
Объем треугольной пирамиды можно найти, умножив площадь грани на треть высоты пирамиды. Высоту пирамиды можно найти как расстояние от вершины (A1) до плоскости, образованной гранью А1А2А3.
Для этого нам нужно найти уравнение плоскости грани. Мы уже знаем вектор нормали к этой плоскости - это вектор, найденный в пункте 3: (0, -10, 25).
Уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор, (x, y, z) - координаты точки на плоскости, D - константа.
Подставим известные значения:
0*x - 10*y + 25*z + D = 0.
Теперь, чтобы найти D, под
ставим координаты точки A1 (3, 5, 4):
0*(-10) + (-10)*5 + 25*4 + D = 0,
-50 + 100 + D = 0,
D = -50 + 100 = 50.
Таким образом, уравнение плоскости грани А1А2А3 имеет вид:
-10y + 25z + 50 = 0.
Теперь найдем расстояние от точки A1 до этой плоскости. Для этого используем формулу:
h = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),
где (x1, y1, z1) - координаты точки A1, (A, B, C) - координаты нормального вектора плоскости, D - константа.
h = |-10*5 + 25*4 + 50| / √((-10)^2 + 25^2 + 0^2) = |(-50 + 100 + 50)| / √(100 + 625 + 0) = |100| / √725.
Теперь можем найти объем треугольной пирамиды:
Объем = (1/3) * Площадь грани * Высота = (1/3) * √725 * (|100| / √725) = (1/3) * |100| = 100/3.
Таким образом:
1) Длина ребра А1А2 = √29.
2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4: Найдите значение угла θ, используя arccos(9 / √(29 * 21)).
3) Площадь грани А1А2А3 = √725.
4) Объем треугольной пирамиды = 100/3.