вычислите объем тела полученного вращением вокруг оси ох фигуры ограниченной линиями у+х=2, у=х, х=о
Ответы
Для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси x, нам нужно воспользоваться методом цилиндров. В этом случае, фигура ограничена линиями у+х=2, у=х и х=0.
Сначала определим интервал интегрирования. Нам нужно найти точки пересечения у+х=2 и у=х:
у+х=2
х=у-2
у=х
Теперь найдем точки пересечения:
у-2 = у
2 = 0
Это уравнение не имеет решений, значит, точки пересечения отсутствуют. Однако мы видим, что у+х=2 представляет собой прямую, которая пересекает у=х в точке (1, 1).
Теперь мы можем записать интеграл для объема:
V = ∫[a, b] A(x) dx
Где A(x) - это площадь поперечного сечения, а [a, b] - интервал интегрирования.
Мы интегрируем по x от 0 до 1 (от начала координат до точки пересечения).
Площадь поперечного сечения - это площадь круга с радиусом x, так как мы вращаем фигуру вокруг оси x:
A(x) = π * x^2
Теперь вычислим объем:
V = ∫[0, 1] π * x^2 dx
V = π * [x^3 / 3] |[0, 1]
V = π * (1/3 - 0/3)
V = π * 1/3
Ответ: Объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси x, равен π/3 кубических единиц.