ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА
7) Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 15 – 3t2 + 12t [м/сек] . Знайти шлях пройдений тілом за першу секунду. 8) Знайти первісну функції f(x) = 9x² - 6x + 4, графік якої проходить через задану точку А(1; 4). 9) Обчислити інтеграл. 0 x + 5 1 2x+1 4 |10) Задано функції у = 1;y = 4; x = 4 dx а. Побудувати графіки даних функцій 6. Обчислити площу фігури, обмежену даними лініями Міністерство освіти і науки України ХЕРСОНСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ФАХОВИЙ КОЛЕДЖ ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ «ОДЕСЬКА ПОЛІТЕХНІКА>> Тематичний контроль з предмету «Математика» за темою «Інтеграл та його застосування»
Ответы
7) Щоб знайти шлях пройдений тілом за першу секунду, вам потрібно обчислити визначений інтеграл швидкості від 0 до 1:
\[S = \int_0^1 v(t) dt = \int_0^1 (15 - 3t^2 + 12t) dt.\]
Обчислимо цей інтеграл:
\[S = \left[ 15t - t^3/1 + 12t^2/2 \right]_0^1 = (15 - 1 - 0) - (0 - 0 - 0) = 14 \, \text{м}.\]
Отже, тіло пройшло 14 метрів за першу секунду.
8) Щоб знайти первісну функції \(f(x) = 9x^2 - 6x + 4\), обчислимо інтеграл:
\[F(x) = \int f(x) dx = \int (9x^2 - 6x + 4) dx.\]
\[F(x) = 3x^3 - 3x^2 + 4x + C,\]
де \(C\) - константа інтегрування. Тепер, враховуючи, що графік функції проходить через точку \(А(1, 4)\), ми можемо знайти значення константи \(C\):
\[4 = 3(1)^3 - 3(1)^2 + 4(1) + C,\]
\[4 = 3 - 3 + 4 + C,\]
\[4 = 4 + C.\]
Отже, \(C = 0\). Таким чином, первісна функція \(f(x)\) виглядає так:
\[F(x) = 3x^3 - 3x^2 + 4x.\]
9) Щоб обчислити інтеграл \(\int_0^1 (2x + 1)dx\), використовуйте визначений інтеграл:
\[\int_0^1 (2x + 1)dx = \left[x^2 + x\right]_0^1 = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2.\]
Отже, значення цього інтегралу дорівнює 2.
10) Побудувати графіки функцій \(y = 1\), \(y = 4\), і \(x = 4\) на одному графіку. Графік \(y = 1\) буде горизонтальною лінією на рівні \(y = 1\), графік \(y = 4\) буде горизонтальною лінією на рівні \(y = 4\), і графік \(x = 4\) буде вертикальною лінією, яка проходить через \(x = 4\).
Щоб обчислити площу фігури, обмеженої цими лініями, необхідно обчислити площу прямокутника, який утворюється перетином ліній \(y = 1\) і \(y = 4\) між \(x = 0\) і \(x = 4\). Площа такого прямокутника дорівнює:
\[S = 4 \times (4 - 0) = 16.\]
Отже, площа фігури, обмеженої цими лініями, дорівнює 16 квадратним одиницям.