ABCDA1B1C1D1 — правильная призма с основанием ABCD, AA1 = 3AD,объём призмы равен 24см3. Найдите высоту призмы
Ответы
Обозначим высоту призмы через "h". Так как призма ABCDA1B1C1D1 является правильной, то высота AA1 равна высоте любой другой боковой грани, то есть DA1C1 = B1CAB.
Запишем формулу для вычисления объема призмы: V = S * h, где S - площадь основания призмы.
Так как ABCD - прямоугольник, то его площадь равна S = AB * AD.
Из условия известно, что AA1 = 3AD. Тогда можно выразить AD через AA1: AD = (1/3) * AA1.
Также из условия известно, что V = 24 см³.
Подставляя известные значения в формулу для объема призмы, получим:
24 = S * h
Подставляя площадь основания призмы в выражение для объема призмы и переписывая его через стороны AA1 и AD, получим:
24 = (AB * AD) * h = (AB * (1/3) * AA1) * h = (AB * AA1/3) * h
Таким образом, AB * AA1 * h/3 = 24
AB * AA1 * h = 72
По условию известно, что AA1 = 3AD, тогда выражаем через AD:
AA1 = 3 * AD = 3 * (1/3) * AA1 = AA1
AB * AA1 * h = 72
AB * AA1 * h = AB * 3AD * h = AB * AD * 3h
Из теоремы Пифагора находим AD:
AD = sqrt(AB² - (AD/3)²)
AD = sqrt(AB² - (AA1²/9))
Домножим обе части на 3:
3AD = sqrt(9AB² - AA1²)
Известно, что 3AD = AA1, следовательно:
AA1² = 9AB² - AA1²
2AA1² = 9AB²
AA1² = 4,5AB²
Возводим выражение для высоты призмы в квадрат:
AB * AA1 * h = 72
AB * sqrt(4,5AB²) * h = 72
1,5AB³ * h = 72
AB³ * h = 48
AB = sqrt(48/h)
S = AB * AD = AB * sqrt(AB² - (AD/3)²) = sqrt(48/h) * sqrt(48/h - 16/h) = sqrt(32/h) * sqrt(3) * sqrt(3 - 1) = 3 * sqrt(32/h)
S * h = 24
3 * sqrt(32/h) * h = 24
sqrt(32/h) * h = 8
sqrt(32h) = 8
32h = 8²
h = (8²)/32 = 2
Ответ: высота призмы равна 2 см.