Ответы
Для вирішення задачі можна скористатися теоремою косінусів, яка встановлює зв'язок між довжинами сторін трикутника та його кутами.
Відповідно до теореми косинусів, квадрат довжини однієї зі сторін трикутника дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(C),
де AB - довжина сторони трикутника, що протилежить куту С.
Підставивши відомі значення, отримаємо:
5^2 = AB^2 + (4√2)^2 - 2 * AB * 4√2 * cos(C).
Спростимо вираз:
25 = AB2 + 32 - 8AB cos (C).
AB2 - 8AB cos(C) + 7 = 0.
Вирішуючи отримане квадратне рівняння щодо AB, отримаємо:
AB = [8 cos(C) ± sqrt((8 cos(C))^2 - 4 * 7)] / 2 = 4 cos(C) ± √(8 cos(C)^2 - 28).
Так як AB має бути позитивним, з двох можливих значень виберемо позитивне:
AB = 4 cos(C) + √(8 cos(C)^2 - 28).
Тепер, знаючи довжини двох сторін трикутника, можна обчислити косинус кута С:
cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) = (4 cos(C) + √(8 cos(C)^2 - 28)^2 + ( 4√2)^2 - 5^2) / (2 * (4 cos(C) + √(8 cos(C)^2 - 28)) * 4√2) = (16 cos(C)^2 + 16 cos(C) √(8 cos(C)^2 - 28) + 62) / (32 cos(C) √2 + 16 √(8 cos(C)^2 - 28)).
Спростимо:
cos(C) = (8 cos(C)^2 + 8 cos(C) √(8 cos(C)^2 - 28) + 31) / (16 cos(C) √2 + 8 √(8 cos( C) ^ 2 - 28)).
Помножуючи обидві частини рівняння на знаменник під коренем, отримаємо:
cos(C) (16 cos(C) √2 + 8 √(8 cos(C)^2 - 28)) = 8 cos(C)^2 + 8 cos(C) √(8 cos(C)^2 - 28) + 31.
Розкриваючи дужки та скорочуючи однакові доданки, отримаємо квадратне рівняння щодо cos(C):
8 cos(C)^2 - 8 cos(C) √(8 cos(C)^2 - 28) + 15 = 0.
Виражаємо cos(C) через дискримінант і розв'язуємо квадратне рівняння:
cos(C) = (√(8 cos(C)^2 - 4 * 8 * 15) + 8 √2) / 16 = (√(8 cos(C)^2 - 480) + 8 √2) / 16 .
64 cos(C)^2 - 256 cos(C) √(8 cos(C)^2 - 480) + 512 = 0.
Розв'язаннями цього рівняння є:
cos(C) ≈ 0,91 або cos(C) ≈ 0,09.
Оскільки кут має бути гострокутним, то шуканим рішенням є:
cos(C) ≈ 0,